2010-2011学年江苏省海安县高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的实部为    ．

2. 难度：中等

命题“∀x＞0，sinx＜x”的否定是    ．

3. 难度：中等

用反证法证明“是无理数”时，第一步应假设“    ．”

4. 难度：中等

运用三段论推理：
复数不可以比较大小，（大前提）
2010和2011都是复数，（小前提）
2010和2011不可以比较大小．（结  论）
该推理是错误的，产生错误的原因是    错误．（填“大前提”或“小前提”）

5. 难度：中等

点P在以F₁、F₂为焦点的双曲线上运动，则△PF₁F₂的重心G的轨迹方程是    ．

6. 难度：中等

在空间中，“直线a⊄平面α”是“直线a∥平面α”成立的    条件．（填“充分不必要”、“充分必要”、“必要不充分”中的一种）

7. 难度：中等

设抛物线y²=2px（p＞0）上一点A（1，2）到点B（x，0）的距离等于到直线x=-1的距离，则实数x的值是    ．

8. 难度：中等

在命题“若a²+b²=0，则a²-b²=0．”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为    ．

9. 难度：中等

定义：如图中的①、②、③、④分别对应着运算A*B、B*C、C*D、D*A．那么图甲对应的运算是    ．”

10. 难度：中等

在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；        ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；        ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；
其中真命题的序号为    ．

11. 难度：中等

如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点，若它停在奇数点上，则下次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从“5”这点起跳，经2 011次跳后它停在的点对应的数字是    ．

12. 难度：中等

在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，且AB=BC=CD=1cm，则四面体ABCD的外接球的表面积为    cm²．

13. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），B（-2，0），C（1，0），P（0，p）（0＜p＜2），直线BP与AC交于点E，直线CP与AB交于点F，若OE⊥OF，则实数p的值是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设F₁（-4，0），F₂（4，0），方程的曲线为C，关于曲线C有下列命题：
①曲线C是以F₁、F₂为焦点的椭圆的一部分；
②曲线C关于x轴、y轴、坐标原点O对称；
③若P是上任意一点，则PF₁+PF₂≤10；
④若P是上任意一点，则PF₁+PF₂≥10；
⑤曲线C围成图形的面积为30．
其中真命题的序号是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知两点F₁（-6，0）、F₂（6，0），点P位于第一象限，且，tan∠PF₂F₁=2．
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）求以F₁、F₂为焦点且过点P的双曲线的标准方程．

16. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值．

17. 难度：中等

如图，在正四棱锥P-ABCD中，点M为棱AB的中点，点N为棱PC上的点．
（1）若PN=NC，求证：MN∥平面PAD；
（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假．若为真，请证明；若为假，请举反例．

18. 难度：中等

设，是否存在整式g（n）使得a₁+a₂+…+a_n-1=g（n）•（a_n-1）对不小于2的一切自然数n都成立，并证明你的结论．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-3）²+（y+2）²=4，圆C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（1）设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C₁与圆C₂的一条切线，切点分别为T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，试求出所有满足条件的点P的坐标；
（2）若斜率为正数的直线l平分圆C₁，求证：直线l与圆C₂总相交．

20. 难度：中等

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；
（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心（定点）．受此启发，研究下面问题：
1过（1）中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB，问：弦AB是否经过一个定点？若经过，请求出定点坐标，否则说明理由；2研究：对于抛物线上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？