2009-2010学年北京市顺义区牛栏山一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={3，2^a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N（ ）
A．{1，2，3}
B．{0，2，3}
C．{0，1，2}
D．{0，1，3}

2. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；
B．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”；
C．若命题p：∃x∈R，x²-x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x²-x+1≥0；
D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件

3. 难度：中等

已知复数z=1+i，则=（ ）
A．
B．
C．i
D．-i

4. 难度：中等

点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的（ ）
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点

5. 难度：中等

函数上的最大和最小值情况是（ ）
A．有最大值0，但无最小值
B．有最大值0和最小值-
C．有最小值-，但无最大值
D．既无最大值又无最小值

6. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₂x|，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若直线3x+4y+m=0与圆（θ为参数）相切，则实数m的值是（ ）
A．10
B．0
C．10或0
D．10或1

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（）=f（x），且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则f（）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知数列a_n的前n项和为S_n=2n²-3n+1，则它的通项公式a_n=    ．

10. 难度：中等

与直线4x-3y+1=0平行且距离为2的直线方程为    ．

11. 难度：中等

 AB为圆O的直径，AC切圆O于点A，且AC=2cm，过C的割线CMN交AB的延长线于D，CM=MN=ND．则AD的长等于    cm．

12. 难度：中等

当时，函数的最大值是    ．

13. 难度：中等

关于函数f（x）=sin（2x+），x∈R，有下列命题：
①把函数f（x）的图象向右平移个单位后，可得y=cos2x的图象；
②函数f（x）的图象关于点（）对称；
③函数f（x）的图象关于直线x=-对称；
④把函数f（x）的图象上每个点的横坐标缩小到原来的，得到函数y=sin（x+）的图象，其中正确的命题序号为    ．

14. 难度：中等

设函数有两个极值点，其中一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，2）内，则的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

（ 本题满分12分 ）
已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若，求f（x）的最大值，最小值．

16. 难度：中等

已知直线l：x-2y-5=0与圆C：x²+y²=50，求：
（1）交点A、B的坐标；          
（2）△AOB的面积．

17. 难度：中等

在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA，sinA），=（），若||=2．（1）求角A的大小；（2）若的面积．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}的首项b₁=1，且满足，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

19. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈N，f（x）∈N，满足：对任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）
（1）试证明：f（x）为N上的单调增函数；
（2）∀n∈N，且f（0）=1，求证：f（n）≥n+1；
（3）对任意m，n∈N，有f（n+f（m））=f（n）+1+m，证明：．