2010-2011学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

2. 难度：中等

某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为（ ）
A．27
B．36
C．54
D．81

3. 难度：中等

若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知，a=log₃sinα，b=2^sinα，c=2^cosα，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞a＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为，并且a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=60，那么a₁+a₂+a₃+…+a₉₉+a₁₀₀的值是（ ）
A．30
B．90
C．100
D．120

6. 难度：中等

已知命题p：∃x＞1，x²-1＞0，那么¬p是（ ）
A．∀x＞1，x²-1＞0
B．∀x＞1，x²-1≤0
C．∃x＞1，x²-1≤0
D．∃x≤1，x²-1≤0

7. 难度：中等

对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（ ）

A．0
B．
C．
D．9

8. 难度：中等

已知函数，若x是函数y=f（x）的零点，且0＜x₁＜x，则f（x₁）（ ）
A．恒为正值
B．等于0
C．恒为负值
D．不大于0

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，如果AB=5，AC=3，BC=7，那么∠A=    ．

10. 难度：中等

已知向量，，那么与夹角的余弦值为    ．

11. 难度：中等

某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为    ，    ．

12. 难度：中等

过点（-3，4）且与圆（x-1）²+（y-1）²=25相切的直线方程为    ．

13. 难度：中等

已知x，y满足约束条件那么z=x+3y的最小值为    ．

14. 难度：中等

若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．

16. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面B₁CD．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在[2，3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；
（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于P，Q两点．
（Ⅰ）若，求直线l的方程；
（Ⅱ）若，求直线l与圆的交点坐标．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-4x+22，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（Ⅱ）存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*恒成立，求出k的最小值；
（Ⅲ）是否存在m∈N^*，使得为数列{a_n}中的项？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．