2009-2010学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若cosα＞0，且tanα＜0，则α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角

2. 难度：中等

tan480°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若向量=（1，1），（1，-1），=（-2，4），则等于（ ）
A．-a+3b
B．a-3b
C．3a-b
D．-3a+b

4. 难度：中等

角a终边过点P（-1，2），则sinα=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设x∈R，向量=（1，x-1），=（x+1，3），若∥，则实数x等于（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．

6. 难度：中等

在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数的值域是（ ）
A．[1，3]
B．[-1，3]
C．[-3，1]
D．[-1，1]

8. 难度：中等

函数f（x）=2cos²x-1的相邻两条对称轴间的距离是（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

9. 难度：中等

设向量，的长度分别为4和3，它们的夹角为60°，则|+|等于（ ）
A．
B．13
C．37
D．

10. 难度：中等

如果先将函数y=sin2x的图象向右平移个长度单位，再将所得图象向上平移1个长度单位，那么最后所得图象对应的函数解析式是（ ）
A．y=-sin2x+1
B．y=-cos2x+1
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，两点A，B的坐标分别为（-1，2），（3，-4），则向量=    ．

12. 难度：中等

若向量=（1，2）与向量=（λ，4）垂直，则实数λ=    ．

13. 难度：中等

已知，那么x=    ．

14. 难度：中等

设，则△ABC的内角A=    °．

15. 难度：中等

设α是第二象限角，，则tan2α=    ．

16. 难度：中等

一个单摆的平面图如图所示．设小球偏离铅锤方向的角为α（rad），并规定小球在铅锤方向右侧时α为正，左侧时α为负．α作为时间t（s） 的函数，近似满足关系．已知小球在初始位置（即t=0）时，，且每经过πs小球回到初始位置，那么A=    ；α作为时间t 的函数解析式是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知tanα=3．
（1）求的值；
（2）求的值．

18. 难度：中等

如图，在直角三角形ABC中，斜边AB=4．设角A=θ，△ABC的面积为S
（1）试用θ表示S，并求S的最大值；
（2）计算的值．

19. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，-cosx），设函数f（x）=•（+）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k，，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．

四、填空题

20. 难度：中等

已知，则=    ．

21. 难度：中等

已知函数f （x）的定义域是（0，+∞），满足f（2）=1，且对于定义域内任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，那么f（1）+f（4）=    ．

22. 难度：中等

如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f[f（0）]=    ；不 等式f（x）≤2的解集为    ．

23. 难度：中等

关于函数，有以下四个命题：
①函数f（x）在区间（-∞，1）上是单调增函数；
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③函数f（x）的定义域为（1，+∞）；
④函数f（x）的值域为R．
其中所有正确命题的序号是    ．

24. 难度：中等

记[x]表示不超过实数x的最大整数．设，则f（3）=    ；如果0＜x＜60，那么函数f（x）的值域是    ．

五、解答题

25. 难度：中等

已知函数f（x）=x-x^-1．
（Ⅰ） 判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ） 证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

26. 难度：中等

已知关于x的不等式-x²+ax+b＞0的解集为A={x|-1＜x＜3，x∈R}
（1）求a、b的值
（2）设函数f（x）=lg（-x²+ax+b），求最小的整数m，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立．

27. 难度：中等

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=3x+4求集合A和B；
（2）求证：A⊆B；
（3）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅．