2010-2011学年广东省梅州中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x+y=0，x，y∈R}，B={（x，y）|x-y=0，x，y∈R}，则集合A∩B的元素个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

已知函数f（x）=（2a-1）x+b在R上是减函数，则a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知f（x）在R上是偶函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x²，则f（7）=（ ）
A．2
B．-2
C．98
D．-98

4. 难度：中等

若复数lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i是纯虚数，则实数m等于（ ）
A．-1
B．3
C．-1或3
D．1或3

5. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．若命题p：∃x∈R，x²+x+1=0，则“￢p”为：∀x∈R，x²+x+1≠0
C．若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题
D．“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件

7. 难度：中等

已知函数f（x）=log_0.5（x²-2ax+3）在区间（-∞，1]上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[1，2）
B．（1，2）
C．（-∞，1）
D．（-∞，1]

8. 难度：中等

如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

不等式的解集是    

10. 难度：中等

双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为（0，2），则此双曲线的方程是    ．

11. 难度：中等

若函数f （x）=a^x（a＞0且a≠1）的反函数为y=f^-1（x），且=2，则f （-2）=    ．

12. 难度：中等

的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域和值域都是[-1，1]（其图象如下图所示），函数g（x）=sinx，x∈[-π，π]．则方程f（g（x））=0的所有不同实数根的个数是    ．

14. 难度：中等

极坐标系中，曲线C₁：pcosθ=3与C₂：p=4cosθ（其中p≥0，）交点的极坐标为     ．

15. 难度：中等

如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求sinA；
（2）求cos（B+C）+cos2A的值．

17. 难度：中等

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意自然数n均有，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

19. 难度：中等

2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n=1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n=2；依此类推…，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位．
对第n个时刻进入园区的人数f（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系（如图1）：f（n）=，n∈N^*
对第n个时刻离开园区的人数g（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系（如图2）：g（n）=，n∈N^*
（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻．

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，动点P到两定点，的距离之和等于4，设动点P的轨迹为C，过点的直线与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）设d为A、B两点间的距离，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）若，解不等式f'（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f'（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．