2010年5月甘肃省张掖二中高三（下）月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设U=R，A={x|x＜0}，B={x|x≤-1}，则A∩（C_UB）=（ ）
A．{x|-1＜x＜0}
B．{x|-1＜x≤0}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞-1}

2. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

3. 难度：中等

若，则cos2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数（-1≤x＜0）的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数在R上连续，则a-b=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

6. 难度：中等

已知向量=（1，3），=（2，1），若+2与3+λ平行，则λ的值等于（ ）
A．-6
B．6
C．2
D．-2

7. 难度：中等

设曲线y=在点（，2）处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

8. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为1的菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=1，则异面直线AB与PD所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ）
A．16种
B．36种
C．42种
D．60种

11. 难度：中等

F₁，F₂分别是双曲线-=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F₂作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF₁F₂的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．3
D．

12. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（ ）
A．[-2，10]
B．[4，16]
C．[4，10]
D．[-2，16]

二、填空题

13. 难度：中等

在的展开式中，x⁴的系数为    ．

14. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为s_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则s₄=    ．

15. 难度：中等

某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在    分（已知φ（0.25）=0.6）．

16. 难度：中等

设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α-l-β的平面角为，则球O的表面积等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，记．
（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

18. 难度：中等

某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主之人说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，求恰有两人获奖的概率．

19. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小．

20. 难度：中等

已知数列a_n，点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函数y=2x+m的图象上，数列b_n满足条件b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*，b₁≠0）．
（I）求证：数列b_n是等比数列；
（II）设数列a_n，b_n的前n项和分别为S_n、T_n且S₆=T₄，S₅=-9，求实数m的值．

21. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=．椭圆G以A、B为焦点且经过点D．
（Ⅰ）建立适当坐标系，求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若点E满足=，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆G交于M、N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l与AB夹角正切值的范围，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数在区间（2，3）上总存在极值？
（3）当a=2时，设函数，若对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，求实数p的取值范围．