2008年2月湖北省黄冈市黄州区西湖中学月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={（x，y）||x|+|y|=1}，Q={（x，y）|x²+y²≤1}，则（ ）
A．P⊆Q
B．P=Q
C．P⊇Q
D．P∩Q=Q

2. 难度：中等

2.998⁶的近似值（精确到小数后第三位）为（ ）
A．726.089
B．724.089
C．726.098
D．726.908

3. 难度：中等

已知f（x）=sin（x+），g（x）=cos（x-），则f（x）的图象（ ）
A．与g（x）的图象相同
B．与g（x）的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得到g（x）的图象
D．向右平移个单位，得到g（x）的图象

4. 难度：中等

在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（ ）
A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此
C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同
（文）定义在R上的函数y=f（x）的值域为[a，b]，则y=f（x+1）的值域为（ ）
A．[a，b]
B．[a+1，b+1]
C．[a-1，b-1]
D．无法确定

5. 难度：中等

已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x₁＜x₂＜1，则（ ）

A．
B．
C．
D．前三个判断都不正确

6. 难度：中等

过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，xy≠0，则的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

设函数，若f（x₁）＞f（x₂），则下列不等式必定成立的是（ ）
A．x₁+x₂＞0
B．x₁²＞x₂²
C．x₁＞x₂
D．x₁＜x₂

8. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项为8，S_n是其前n项的和，某同学经计算得S₂=20，S₃=36，S₄=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）
A．S₁
B．S₂
C．S₃
D．S₄

9. 难度：中等

函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
A．4a
B．2（a-c）
C．2（a+c）
D．以上答案均有可能

二、填空题

11. 难度：中等

已知集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y²-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

如右图所示的几何体ABCDEF中，ABCD是平行四边形且AE∥CF，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是    ．

13. 难度：中等

S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若，则=    ．

14. 难度：中等

一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为52米和24米，现欲将这块土地内部分割成一些全等的正方形试验田，要求这块土地全部被划分且分割的正方形的边与这块土地的边界平行，现另有2002米栅栏，则最多可将这块土地分割成    块．

15. 难度：中等

a、b、c、d均为实数，使不等式和ad＜bc都成立的一组值（a，b，c，d）是    ．（只要写出适合条件的一组值即可）

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的定义域为，值域为[-5，4]．试求函数g（x）=msinx+2ncosx（x∈R）的最小正周期和最值．

17. 难度：中等

两个人射击，甲射击一次中靶概率是p₁，乙射击一次中靶概率是p₂，若两人各射击5次，甲的方差是 ，且•=6，
（1）求 p₁、p₂的值；
（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的概率是多少？
（3）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的概率是多少？

18. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．

19. 难度：中等

P是以F₁、F₂为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知=0，．
（1）试求双曲线的离心率e；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P₁、P₂两点，当=-，=0，求双曲线的方程．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*）试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

21. 难度：中等

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．