2009-2010学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期末总复习试卷（立体几何）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

三棱锥P-ABC，PA⊥面ABC，AC⊥BC，点E、F分别是A在PB、PC上的射影，则 （ ）
A．∠EAF是二面角B-PA-C的平面角
B．∠AFE是二面角A-PC-B的平面角
C．∠FEA是二面角C-PB-A的平面角
D．∠PCB是二面角P-AC-B的平面角

2. 难度：中等

如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个 小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：l，若仍用这个容器盛水，则最多可盛永的体积是原来的（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设一个正三棱锥的侧面与底面所成的角为α，相邻两个侧面所成的角为β，那么两个角α和β的三角函数间的关系是（ ）
A．2cos²α+3cosβ=1
B．2cosα+3cos²β=1
C．3cos²α+2cosβ=1
D．3cosα+2cos²β=1

4. 难度：中等

已知正四棱锥的侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为θ₁，相邻两侧面所成的二面角为θ₂，则（ ）
A．
B．
C．θ₁=θ₂
D．

5. 难度：中等

如图，在体积为1的三棱锥A-BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）

A．K
B．H
C．G
D．B′

7. 难度：中等

已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

以平行六面体的8个顶点中任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数最多为（ ）
A．20
B．28
C．32
D．36

9. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AA₁，CC₁的中点，则在空间中与三条直线A₁D₁，EF，CD都相交的直线（ ）
A．不存在
B．有且只有两条
C．有且只有三条
D．有无数条

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱上到异面直线AB，CC₁的距离相等的点的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

二、填空题

11. 难度：中等

如果正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则α的值是    ．

12. 难度：中等

一个棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为    ．（写出一个可能值）

13. 难度：中等

正四棱锥的底面积为Q，侧面积为P，侧面与底面所成的二面角为α，则cosα=    ．

14. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C上一线段PQ=1，AB=2，则棱锥的体积V_Q-PBD=    ．

15. 难度：中等

若正三棱锥底面的边长为a，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为    ．

16. 难度：中等

对正多面体有如下描述：①每个面都是正多边形，棱数可以不同；②每个顶点必须有相同的棱数；③正多面体有无数个；④正多面体的一个面的边数可以是3或4．其中正确的有    ．

17. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线，其中真命题的编号是    ．（写出所有真命题的编号）

18. 难度：中等

已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α-AB-β的取值范围是    ．

三、解答题

19. 难度：中等

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA₁和CC₁的中点，G是A₁C₁的中点，求：
（1）点G到平面BFD₁E的距离；
（2）四棱锥A₁-BFD₁E的体积．

20. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．
（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．

21. 难度：中等

如图，已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点，A₁D⊥AB₁，且AC=BC，
（1）求证：A₁C⊥AB₁；
（2）若CC₁到平面A₁ABB₁的距离为1，，，求三棱锥A₁-ACD的体积；
（3）在（2）的条件下，求点B到平面A₁CD的距离．

22. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，
（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

23. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D是A₁B₁的中点，点E在A₁C₁上，且DE⊥AE．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACC₁A₁
（2）求直线AD和平面ABC₁所成角的正弦值．