2009-2010学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上，被直线y=x反射后的光线所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设函数f（x）=asinx-bcosx图象的一条对称轴方程为，则直线ax-by+c=0的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若圆C：x²+y²-ax+2y+1=0和圆x²+y²=1关于直线y=x-1对称，动圆P与圆C相外切且直线x=-1相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．y²+6x-2y+2=0
B．y²-2x+2y=0
C．y²-6x+2y-2=0
D．y²-2x+2y-2=0

4. 难度：中等

椭圆和双曲线有公共焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

抛物线y=4x²的准线方程是（ ）
A．y+1=0
B．x+1=0
C．16y+1=0
D．16x+1=0

6. 难度：中等

设O为坐标原点，抛物线y²=4x与过焦点的直线交于A、B两点，则=（ ）
A．
B．
C．-3
D．3

7. 难度：中等

椭圆上有n个不同的点：P₁，P₂，…，P_n，椭圆的右焦点为F，数列|P_nF|是公差不小于的等差数列，则n的最大值是（ ）
A．198
B．199
C．200
D．201

8. 难度：中等

设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，∠F₁PF₂=90°若△F₁PF的面积为1，则a的值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

抛物线x²=2y离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（ ）
A．a≤0
B．
C．a≤1
D．a≤2

10. 难度：中等

已知x，y∈R，且（log₂3）^x+（log₃5）^y≥（log₃2）^y+（log₅3）^x，则x与y应满足（ ）
A．x+y≥0
B．x+y＞0
C．x+y≤0
D．x+y＜0

二、填空题

11. 难度：中等

若直线ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x+2y=0的周长，则的最小值是：    ．

12. 难度：中等

与圆x²+（y-2）²=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有    条．

13. 难度：中等

过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），则椭圆的方程为    ．

14. 难度：中等

设双曲线的右焦点为F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）与圆x²+y²=2的位置关系为    ．

15. 难度：中等

设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是    （写出所有真命题的代号）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC中，A（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线方程．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4 和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．

18. 难度：中等

已知，O是原点，点P（x，y）的坐标满足，
（1）求的最大值．；（2）求的取值范围．

19. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF₁•PF₂的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

20. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线方程为直线和，焦点在y轴上，实轴长为，O为坐标原点．
（1）求双曲线方程；
（2）设P₁，P₂分别是直线l₁和l₂上的点，点M在双曲线上，且，求三角形P₁OP₂的面积．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=px²+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{a_n}，设它的前n项和为S_n，且满足S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明a_n+1＞a_n＞1（n∈N^*）；
（2）求证：点在同一直线l₁上；
（3）若过点N₁（1，a₁），N₂（2，a₂）作直线l₂，设l₂与l₁的夹角为θ，求tanθ的最大值．