2010-2011学年江苏省苏州中学高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x＜3}，N={x|log₂x＞1}，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

下列命题中的假命题是    （填序号）
（1）∃x∈R，lgx=0；    （2）∃x∈R，tanx=1；   （3）∀x∈R，x³＞0；      （4）∀x∈R，2^x＞0．

3. 难度：中等

化简sin15°cos75°+cos15°sin105°=    ．

4. 难度：中等

在R上为减函数，则a∈    ．

5. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，若a₂=3，a₇=13，则数列{a_n}前8项的和为    ．

6. 难度：中等

过点P（-1，2）且与曲线y=3x²-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是    ．

7. 难度：中等

函数为增函数的区间是    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

设s_n为等比数列{a_n}的前n项和，若8a₂+a₅=0，则=    ．

10. 难度：中等

已知函数若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知，则f（x）的最小正周期是    ．

12. 难度：中等

设函数g（x）=x²-2（x∈R），则f（x）的值域是    ．

13. 难度：中等

已知函数 ．设S（a） （a≥0）是由x轴、y=f（x）的图象以及直线x=a所围成的图形面积，当n∈N*时，S（n）-S（n-1）-=    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=x²+2x+alnx，当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

给出下列两个命题：命题p：函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增；命题q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0的解集为（-∞，+∞）．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（1）求角B的值；
（2）若b=5，求△ABC周长的取值范围．

17. 难度：中等

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的：对于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（1）判断函数f₁（x）=2-及f₂（x）=1+3•（（x≥0）是否在集合A中？试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立．求实数k的取值范围．

18. 难度：中等

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{a_n}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；
（3）若从数列{a_n}中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足，这样的等比数列有多少个？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2010，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．
（3）当k=1时，证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

21. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为，（t为参数，t＞0）．求曲线C的普通方程．

22. 难度：中等

一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．
（1）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；
（2）求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ．

23. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
证明：（I）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（II）．