2008年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

的值为（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

已知集合A={y|y=log₂x，x＞1}，B={y|y=（）^x，x＞1}，则A∩B=（ ）
A．{y|0＜y＜}
B．{y|0＜y＜1}
C．{y|＜y＜1}
D．∅

3. 难度：中等

条件p：|x+1|＞2，条件，则￢p是￢q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂=120，则a₉-的值是（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17

5. 难度：中等

θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程所表示的曲线为（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线

6. 难度：中等

若的展开式中的第5项等于，则（a+a²+…+aⁿ）的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①n∥α，α⊥β，则n⊥β；②若m⊥n，n⊥α，m⊥β，则α⊥β；③若n⊥α，α⊥β，m⊂β，则m∥n；④n⊥β，α⊥β，则n∥α，或n⊂α．其中真命题是（ ）
A．①④
B．②④
C．②③
D．③④

8. 难度：中等

圆心在抛物线y²=2x（y＞0）上，并与抛物线的准线及x轴都相切的圆方程是（ ）
A．
B．x²+y²+x-2y+1=0
C．x²+y²-x-2y+1=0
D．

9. 难度：中等

函数在（-2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A．
B．a＜-1或
C．
D．a＞-2

10. 难度：中等

定义，设实数x，y满足约束条件，则z的取值范围是（ ）
A．[-5，6]
B．[-3，6]
C．[-5，8]
D．[-8，8]

二、填空题

11. 难度：中等

5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是    ．

12. 难度：中等

过椭圆内一点P（1，1）作弦AB，若，则直线AB的方程为    ．

13. 难度：中等

半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB、AC、AD两两互相垂直，则△ABC，△ACD，△ADB面积之和的最大值是    ．

14. 难度：中等

设A（1，0），点C是曲线（0≤x≤1）上异于A的点，CD⊥y轴于D，，∠CAO=θ（其中O为原点），将|AC|+|CD|表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）=    ．

15. 难度：中等

已知m、n为大于1的正整数，对mⁿ作如下的“分裂”：分解为m个连续奇数的和．则（1）在5²的“分裂”中最大的数是    ；（2）在m³的“分裂”中最小的数是211，则m=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知=（1+cos2x，1），=（1，）（x，m∈R），且f（x）=•；
（1）求函数y=f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）的最大值是4，求m的值，并说明此时f（x）的图象可由的图象经过怎样的变换而得到、

17. 难度：中等

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（Ⅰ）当p=q=时，求E（ξ）及D（ξ）；
（Ⅱ）当，时，求ξ的分布列和E（ξ）．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD．
（Ⅰ）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．

20. 难度：中等

已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为x=a（a≤）．
（Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求|MN|的最小值；（2）若MN的中点R在l上的射影Q满足MQ⊥NQ，求a的取值范围．

21. 难度：中等

设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n），（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）记，试比较T_n与T_n+1的大小；若对于一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围；
（3）设S_n为数列b_n的前n项的和，其中b_n=2^f（n），问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．