2006-2007学江苏省淮安市盱眙中学高三（下）4月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球

2. 难度：中等

若函数y=f（x+1）的定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域为（ ）
A．[0，]
B．[-1，4]
C．[-5，5]
D．[-3，7]

3. 难度：中等

若三点O、A、B不共线，则“存在唯一一对实数λ₁、λ₂，使”是“P点在直线AB上”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x-2，则函数y=|f（|x|）|的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

给出下列四个命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确的命题的个数为（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

函数f（x）为奇函数且f（3x+1）的周期为3，f（-1）=-1，则f（2008）等于（ ）
A．0
B．1
C．一1
D．2

7. 难度：中等

如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）

A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

8. 难度：中等

如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来（如同架桥），如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有（ ）

A．8种
B．12种
C．16种
D．20种

9. 难度：中等

已知三个正实数a、b、c满足a＜b+c≤2a，b＜a+c≤2b，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

甲、乙两工厂2007年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相同；乙厂产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同，若2008年元月份两厂的产值又相等，则2007年7月份产值一定是（ ）
A．甲厂＞乙厂
B．乙厂＞甲厂
C．相等
D．不能确定

二、填空题

11. 难度：中等

命题：“已知a，b，c，d∈R，若a=b，c=d，则a+c=b+d”的逆否命题是：    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=（1+x²）（1-2x）⁵，则其导函数f′（x）展开式中含x²的项的系数为    ．

13. 难度：中等

若x≥1，y≥1，且xy=10，x^lgx•y^lgy≥10，则x+y的值是    ．

14. 难度：中等

如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是     ．

15. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，若它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合．设双曲线与抛物线的一个交点为P，抛物线的焦点为F，则|PF|=    ．

16. 难度：中等

定义：设有限集合A={x|x=a_i，i≤n，i∈N₊，n∈N₊}，S=a₁+a₂+…+a_n-1+a_n，则S叫做集合A的模，记作|A|；若集合P={x|x=2n-1，n∈N₊，n≤10}，集合P的含有三个元素的全体子集分别为P₁，P₂，…P_k，则|P₁|+|P₂|+…+|P_k|=    （用数字作答）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量a=（cosωx，sinωx），，其中0＜ω＜2．记f（x）=a•b．
（1）若f（x）的最小正周期为2π，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）图象的一条对称轴的方程为，求ω的值．

18. 难度：中等

已知直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1有A、B两个不同的交点．
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称？试述理由．

19. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点．
（1）判定AC与平面B₁DE的位置关系，并证明；
（2）求证：平面B₁DE⊥平面B₁BD；
（3）求二面角B-B₁E-D的大小．

20. 难度：中等

已知点集，其中，又知点列P_n（a_n，b_n）∈L，P₁为L与y轴的交点．等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（Ⅰ）求P_n（a_n，b_n）；
（Ⅱ）若，求出k的值；
（Ⅲ）对于数列{b_n}，设S_n是其前n项和，是否存在一个与n无关的常数M，使，若存在，求出此常数M，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式≤f（）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（2）设f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．