2010-2011学年湖北省武汉市外国语学校高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数的实部与虚部之和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2i

2. 难度：中等

“x＞2”是“x≠2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

命题p：∃x＞1，使x²-2x-3=0，则¬p为（ ）
A．∀x＞1，x²-2x-3=0
B．∀x＞1，x²-2x-3≠0
C．∃x≤1，x²-2x-3=0
D．∃x≤1，x²-2x-3≠0

4. 难度：中等

双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A．a
B．b
C．c
D．

5. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被点分成3：1的两段，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设复数z满足|z|=1，则|z-2|的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若△PF₁F₂是直角三角形，且|PF₁|＞|PF₂|，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．2或

8. 难度：中等

复数z满足，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（ ）
A．线段
B．椭圆
C．双曲线
D．圆

9. 难度：中等

设P是曲线上的动点，O为坐标原点，则OP的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x²+2y²=2
B．2x²+y²=2
C．x²+2y²=1
D．2x²+y²=1

10. 难度：中等

已知F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的动点，过F₁作∠F₁PF₂的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．圆
D．线段

二、解答题

11. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的增函数，a，b∈R，证明：若f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），则a+b＞0．

12. 难度：中等

已知p：函数y=x²+mx+1在（-1，+∞）上单调递增，q：函数y=4x²+4（m-2）x+1大于0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．

13. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，求|PF₁|•|PF₂|的最大值．

14. 难度：中等

双曲线与椭圆有共同的焦点F₁（0，-5），F₂（0，5），点P（3，4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．

三、填空题

15. 难度：中等

直线y=kx-2k与双曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

点P（1，1）平分椭圆的一条弦，则这条弦所在直线的方程为    ．

17. 难度：中等

不等式（x+a）（x+1）＜0成立的一个充分不必要条件是-2＜x＜-1，则实数a的取值范围是    ．

18. 难度：中等

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=3|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为    ．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=，g（x）=x²-x+1，则函数y=g（x）-f（x）有两个零点的实数a的取值范围是    ．

四、解答题

20. 难度：中等

已知复数z₁=m+（4-m²）i（m∈R），z₂=2cosθ+（λ+2sinθ）i（λ∈R），若z₁=z₂，试求λ的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆C₁的方程是，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，C₂的左、右顶点分别为C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B，且（O为原点），求k的取值范围；
（3）设P₁，P₂分别是C₂的两条渐近线上的点，点M在C₂上，且，求△P₁OP₂的面积．