2008-2009学年湖北省宜昌一中、枝江一中、当阳一中三校联考高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|y=}，B={x|3x-2-x²＜0}，全集为R，则式子①A∪B=B；②A∩B=A；③（C_RA）∪B=R；（C_RA）∪（C_RB）=R中成立的是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④

2. 难度：中等

已知，则（ ）
A．2^b＞2^a＞2^c
B．2^a＞2^b＞2^c
C．2^c＞2^b＞2^a
D．2^c＞2^a＞2^b

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₂=（ ）
A．-4
B．-6
C．-8
D．-10

4. 难度：中等

给定映射f：（x，y）→（2x+y，xy）（x，y∈R）的条件下，点（，-）的原象是（ ）
A．（，-）
B．（，-）或（-，）
C．（，-）
D．（，-）或（-，）

5. 难度：中等

《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（log₂x）的定义域为（ ）
A．[2，4]
B．（0，+∞）
C．[1，2]
D．[4，16]

7. 难度：中等

已知数列{a_n}是等比数列，且每一项都是正数，若a₂，a₄₈是2x²-7x+6=0的两个根，则a₁•a₂•a₂₅•a₄₈•a₄₉的值为（ ）
A．
B．9
C．±9
D．3⁵

8. 难度：中等

函数y=log₃（2x²-5x-3）的单调递增区间是（ ）
A．[，+∞）
B．（-∞，]
C．（3，+∞）
D．（-∞，-）

9. 难度：中等

若两个等差数{a_n}，{b_n}的n项和分别为A_n，B_n，且=，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设数列{an}的前n项和S_n，令T_n=，称Tn为数列a₁，a₂…a_n的“理想数”，已知数a₁，a₂…a₅₀₁的“理想数”为2008，那么数列3，a₁，a₂…a₅₀₁的“理想数”为（ ）
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009

二、填空题

11. 难度：中等

将函数y=e^x的图象向左平2个单位后，所得的函数图象的解析式为    ．

12. 难度：中等

已知命题p：a-4＜0；命题q：2^a＜1，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设f（x）=log₂（x+4）的反函数为f^-1（x），[f^-1（m）+4]•[f^-1（n）+4]=16，则f（m+n）=    ．

14. 难度：中等

给出如下一个“数阵”：如图，其中每一列成等差数列，从第三行起，每一行成等比数列，且每行的公比均相等，记第i行第j列的数为a_ij（i≥j，i，j∈N^*）则a₈₃=    ．

15. 难度：中等

已f（x）=，数列{a_n}满=f（）（n≥2），a₁=1，则a_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

若函数y=log_0.5（x²+2x+a）的定义域R，求实a的取值范围．

17. 难度：中等

若函数y=x²+2x+a²-1在区[1，2]上的最大值16，求实a的值．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的n项和为S_n，a₁=2，a_n+1=4S_n+1（n≥1），求数列{a_n}的通项公式．

19. 难度：中等

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．

（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

20. 难度：中等

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证f（x）=x．

21. 难度：中等

已知S_n为数列{a_n}的前项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•（-1）ⁿ，求数{b_n}的n项和P_n；
（Ⅲ）设c_n=，数列{c_n}的n项和为T_n，求证：Tn＜．