2008-2009学年湖北省部分重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，集合N={x||2x-1|＜3}，则M∩N=（ ）
A．{x|-1＜x＜2}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞2或x＜-1}
D．{x|-1＜x＜1}

2. 难度：中等

已知数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a₂，a₄，a₃成等差数列．则q=（ ）
A．1
B．
C．或1
D．-1或

3. 难度：中等

设x，y∈R，P：x+y≠5，Q：x≠2或y≠3，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件

4. 难度：中等

已知函数y=f（x）的反函数，则y=f（x）的图象（ ）
A．关于点（2，3）对称
B．关于点（-2，-3）对称
C．关于点（3，2）对称
D．关于点（-3，-2）对称

5. 难度：中等

定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=-f（x），且在[-2，0]上单调递减，，，，则下列成立的是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b

6. 难度：中等

设数列{2^n-1}按“第n组有n个数（n∈N₊）”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32），…，则第101组中的第一个数为（ ）
A．2⁴⁹⁵¹
B．2⁴⁹⁵⁰
C．2⁵⁰⁵¹
D．2⁵⁰⁵⁰

7. 难度：中等

设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足，，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＞0，对任意的正数a、b，若a＞b，则必有（ ）
A．af（a）＜bf（b）
B．bf（a）＜af（b）
C．af（b）＜bf（a）
D．bf（b）＜af（a）

9. 难度：中等

函数f（x）=x²+mx+n的图象按向量平移后得到的图象，恰好与直线4x+y-6=0相切于点（1，2），则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=x²+2x+3
B．f（x）=x²+2x+4
C．f（x）=x²+2x-4
D．f（x）=x²+2x-3

10. 难度：中等

函数的图象上至少有三个点到原点的距离成等比数列，则公比q的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知，则=    ．

12. 难度：中等

已知非零向量，定义，其中θ为的夹角．若，则=    ．

13. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.5]=-2．若集合A={x|x²-[x]-1=0}，，则A∩B=    ．

14. 难度：中等

在公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}中，若S_n是{a_n}的前n项和，则数列S₆-S₃，S₉-S₆，S₁₂-S₉…也成等差数列，且公差为9d．类比上述结论，相应地在公比为q（q≠0，1）的等比数列{b_n}中，若T_n是{b_n}的前n项积，则有    ．

15. 难度：中等

给出下列命题：
①若，则是成立的必要不充分条件；
②已知，则在方向上的投影为-4；
③设点P分所成的比为，则点P₁分所成的比为；
④函数的图象关于点成中心对称．
其中正确命题的序号是    （请将所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题

16. 难度：中等

若方程ax²+2x-1=0至少有一个正实数根，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

四、填空题

18. 难度：中等

已知向量，，其中O为坐标原点，若||≥2||对任意的实数α，β都成立，则实数λ的取值范围是    ．

五、解答题

19. 难度：中等

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有．
（1）证明：f（x）是[-1，1]上的增函数；
（2）若f（x）≤m²+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数，那么：
①求k的取值范围；
②是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}是等比数列，其中a₃=1，a₄，a₅+1，a₆成等差数列，数列的前n项和S_n=（n-1）2^n-2+1（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，当n≥3时，求证：．