2007-2008学年湖北省宜昌一中高三数学单元测试：数学归纳法、极限、导数（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
①数列没有极限；
②数列的极限为0；
③数列的极限为；
④数列没有极限．
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

2. 难度：中等

若，则的值为（ ）
A．-2
B．
C．
D．3

3. 难度：中等

已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

若函数f（x）=x³-ax²+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≥3
B．a=3
C．a≤3
D．0＜a＜3

5. 难度：中等

设函数f（x）=x（x+k）（x+2k）（x-3k），且f′（0）=6，则k=（ ）
A．0
B．-1
C．3
D．-6

6. 难度：中等

函数f（x）=ax³+x+1有极值的充要条件是（ ）
A．a＞0
B．a≥0
C．a＜0
D．a≤0

7. 难度：中等

已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

方程x³-6x²+9x-10=0的实根个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）
B．[1，）
C．[1，2）
D．[，2）

10. 难度：中等

设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（ ）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

二、填空题

11. 难度：中等

曲线y=x³在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为    ．

12. 难度：中等

若函数在R上连续，则实数a=    ．

13. 难度：中等

若函数上有最小值，则a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

过点P（2，-2）和曲线y=3x-x³相切的直线方程为    ．

15. 难度：中等

向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟m³，当水深为5m时，水面上升的速度是每分钟    m．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数
（1）若f（x）在x=0处的极限存在，求a，b的值；
（2）若f（x）在x=0处连续，求a，b的值．

17. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=3x+1，若函数y=f（x）在x=-2时有极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间； 
（3）若函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，求f（x）在该区间上的最小值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n（n∈N^*），且0＜a₁＜1．
（1）用数学归纳法证明：0＜a_n＜1；
（2）若b_n=lg（1-a_n），且，求无穷数列所有项的和．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．
（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值．

20. 难度：中等

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

21. 难度：中等

设函数f（x）=在[1，+∞）上为增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）若a=1，求证：（n∈N*且n≥2）．