2010-2011学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知直线L过点A（1，1），向左平移2个单位再向上平移3个单位后仍然过点A，则L在x轴上的截距是（ ）
A．
B．
C．-
D．

2. 难度：中等

已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x²+y²=4在区域D内的弧长为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

3. 难度：中等

已知两条直线l₁：ax+by+c=0，直线l₂：mx+ny+p=0，则an=bm是直线l₁∥l₂的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知动点P在曲线2x²-y=0上移动，则点A（0，-1）与点P连线中点的轨迹方程是（ ）
A．y=2x²
B．y=8x²
C．2y=8x²-1
D．2y=8x²+1

5. 难度：中等

设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是
（ ）
A．圆
B．两条平行直线
C．抛物线
D．双曲线

6. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．
C．（0，1）
D．

7. 难度：中等

设椭圆C₁的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为12，若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C₂的标准方程为（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

8. 难度：中等

已知圆x²+y²+2x-6y+F=0与x+2y-5=0交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则F的值为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

9. 难度：中等

下列命题中是真命题的是（ ）
A．∀θ∈[0，π），∃α∈R使得直线ax+y+1=0的倾斜角为θ
B．曲线C：ax²+by²=c表示双曲线的充要条件是ab＜0
C．到两定点（-2，4），（4，-4）距离和为12的点的轨迹是椭圆
D．到两定点（-2，0），（2，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线

10. 难度：中等

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．1±
C．1+
D．无法确定

二、填空题

11. 难度：中等

若圆x²+y²+（a²-1）x+2ay-1=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a的值为    ．

12. 难度：中等

以椭圆的右焦点F₂（F₁为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M、N，若直线MF₁是圆F₂的切线，则椭圆的离心率是    ．

13. 难度：中等

若过点A（0，2）的直线l与曲线x²-y²=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为    ．

14. 难度：中等

Rt△ABC的三个顶点在给定的抛物线y²=2px（p＞0）上，斜边AB平行于y轴且|AB|＞4p，则AB边上的高|CD|=    ．

15. 难度：中等

若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

求经过两直线l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交点P，且与直线l₃：3x-4y+5=0垂直的直线l的方程．

17. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．

18. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面积为3，求椭圆的方程．

19. 难度：中等

已知直线l₁：y=x和直线l₂：y=-x，动点M到x轴的距离小于到y轴的距离，且M到l₁，l₂的距离之积为常数4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（3，0）的直线L与曲线C交与P、Q，若，求直线L的方程．

20. 难度：中等

如图，F为抛物线y²=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．
（1）求该抛物线的方程；
（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．

21. 难度：中等

已知点P（x，y）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2）的双曲线C₁上的一动点，点Q是P关于双曲线C₁实轴A₁A₂的对称点，设直线PA₁与QA₂的交点为M（x，y），
（1）求双曲线C₁的方程；
（2）求动点M的轨迹C₂的方程；
（3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C₂于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．