2010-2011学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

把y=sinx的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为    ．

3. 难度：中等

已知复数z满足（i是虚数单位），则|z|=    ．

4. 难度：中等

观察式子，…，则可归纳出    ．

5. 难度：中等

（理科）若C_n⁵=C_n⁶，则n=    ．

6. 难度：中等

函数的值域是    ．

7. 难度：中等

若|z-i|=1，则|z|最大值为    ．

8. 难度：中等

设（2x+1）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a-a₁+a₂-a₃+a₄=    ．

9. 难度：中等

（文科）已知α是第二象限且，则tanα的值是    ．

10. 难度：中等

在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于的概率是    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+3a+b是定义在[a-1，2a]的偶函数，则a+b=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=log_ax（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=x+2^x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=    ．

14. 难度：中等

甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线对称，则实数m=    ．

16. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2011）的值为    ．

17. 难度：中等

对于任意满足的θ，使得恒成立的所有实数对（p，q）是    ．

二、解答题

18. 难度：中等

当实数m取何值时，复数z=（m²-3m+2）+（m²-4m+3）i．（1）是实数；  （2）是纯虚数；   （3）等于零．

19. 难度：中等

已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为．
（1）求n的值； 
（2）求展开式中的常数项； 
（3）求二项式系数最大的项．

20. 难度：中等

已知，，，．
（Ⅰ）求cosβ的值；
（Ⅱ）求sinα的值．

21. 难度：中等

已知a，b，c，d是实数，用分析法证明：．

22. 难度：中等

随机地把一根长度为8的铁丝截成3段．
（1）若要求三段的长度均为正整数，求恰好截成三角形三边的概率．
（2）若截成任意长度的三段，求恰好截成三角形三边的概率．

23. 难度：中等

在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：．

24. 难度：中等

如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的外面种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）当a固定，θ变化时，求取最小值时的角．

25. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；
（3）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，AB中点为C（x，0），求证：g′（x）≠0．