2009-2010学年湖北省宜昌一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：＞0，命题q：x＞1．则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知两条直线y=ax-2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

3. 难度：中等

若点A（ab，a+b）在第一象限内，则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是（ ）
A．一
B．二
C．三
D．四

4. 难度：中等

双曲线mx²+y²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A．
B．-4
C．4
D．

5. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）上的点M到x轴的距离为3，点M到准线的距离为5，则p=（ ）
A．1
B．9
C．或9
D．1或9

6. 难度：中等

已知x，y满足，的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．3
D．4

7. 难度：中等

圆：x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若x＜-1＜y＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A．＜1
B．|y|＜-
C．x²＜y²
D．

9. 难度：中等

已知P为椭圆上动点，F为椭圆的右焦点，点A的坐标为（3，1），则|PA|+2|PF|的最小值为（ ）
A．10+
B．10-
C．5
D．7

10. 难度：中等

方程有解时k的取值范围（ ）
A．（-∞，-1）∪（0，1）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（0，1）
D．（-∞，0）∪（0，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

若A={1，2，3}，B={x∈R|log₂x＞1}，则A∩B=    ．

12. 难度：中等

圆x²+y²=11的过点的切线方程为    ．

13. 难度：中等

P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线为3x-2y=0，F₁，F₂分别是左、右焦点，若|PF₁|=5，则P到双曲线右准线的距离是    ．

14. 难度：中等

直线l与椭圆相交于两点A，B，弦AB的中点为（-1，1），则直线l的方程为    ．

15. 难度：中等

设x＞1，y＞1，S=min{log_x2，log₂y，log_y（8x²）}则S的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC三边所在的直线方程为AB：4x-3y+10=0，BC：y-2=0，AC：3x-4y-5=0．
（1）求过顶点A与BC边平行的直线方程；
（2）求∠BAC的内角分线所在的直线方程．

17. 难度：中等

关于x的不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0的解集是R，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：+=；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小．

19. 难度：中等

设双曲线的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求双曲线方程；
（2）直线y=kx+5（k≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k值．

20. 难度：中等

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点．
（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程．

21. 难度：中等

椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k²+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．