2009-2010学年湖北省孝感高中高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

采用系统抽样方法从编号为1-50的50名同学中选取5名同学做一个问卷调查，则确定所选取的5个同学的编号可能是（ ）
A．5，10，15，20，25
B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5
D．2，4，8，16，22

2. 难度：中等

点E是正四面体ABCD的棱AD的中点，则异面直线BE与AC所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（2，2²），则P（2＜ξ＜3）可以被表示为（ ）
A．1-P（ξ＜1）
B．
C．P（0＜ξ＜1）
D．

4. 难度：中等

一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积为π，则球的体积为（ ）
A．4π
B．8π
C．
D．

5. 难度：中等

已知，其中a，b∈R，则a-b的值为（ ）
A．-6
B．-2
C．2
D．6

6. 难度：中等

已知正方形ABCD沿其对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为β，当β取最大值时，二面角B-AC-D的大小为（ ）
A．120°
B．90°
C．60°
D．45°

7. 难度：中等

如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S_n为前n个正六边形的面积之和，则S_n=（ ）

A．2r²
B．
C．
D．6r²

8. 难度：中等

集合A={（x，y）|y≥|x-1|}，集合B={（x，y）|y＜-|x|+6}，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a，掷第二颗骰子得点数为b，则（a，b）∈A∩B的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知集合A={直线}，B={平面}，C=A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，给定下列命题：
①；②；③；④．
其中一定正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②

10. 难度：中等

某旅馆有1个三人间，2个两人间可用，有三个成年人带两个小孩来投宿，小孩不宜单独住一间（必须有成人陪同），且不要求房间里都住有人，则不同的安排住宿的方法有（ ）种．
A．60
B．62
C．64
D．66

二、填空题

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=x⁵+5x⁴+10x³-10x²+5x+1的反函数f^-1（x）=    ．

13. 难度：中等

设三棱锥的3个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为    ．

14. 难度：中等

设a_n（n=2，3，4…）是展开式中x的一次项的系数，则的值是    ．

15. 难度：中等

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如=+，=+，=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．

17. 难度：中等

某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是，甲、丙两人都答错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是，规定每队只要有一人答对此题则记该队答对此题．
（Ⅰ）求该单位代表队答对此题的概率；
（Ⅱ）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其它题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望（精确到1分）．

18. 难度：中等

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

19. 难度：中等

设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的，现投掷骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是偶数，棋子移动到另一个顶点；若投出的点数是奇数，则棋子不动．若棋子的初始位置在顶点A．
求：（Ⅰ）投了2次骰子，棋子才到达顶点B的概率；
（Ⅱ）记投了n次骰子，棋子在顶点B的概率为P_n．求P_n．

20. 难度：中等

已知函数
（1）讨论函数f（x）的极值情况；
（2）设g（x）=ln（x+1），当x₁＞x₂＞0时，试比较f（x₁-x₂）与g（x₁-x₂）及g（x₁）-g（x₂）三者的大小；并说明理由．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 ．用数学归纳法证明：（1-b₁）（1-b₂）…（1-b_n）≥1-（b₁+b₂+…+b_n）；
（3）设，数列{c_n}的前n项和为C_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*且n≥2，都有成立，求m的最大值．