2008-2009学年江苏省南京市师大附中高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}则∁_U（A∪B）=    ．

2. 难度：中等

已知α为第三象限角，则的符号为    （填“正”或“负”）．

3. 难度：中等

设△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，那么A=    ．

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁+3a₈+a₁₅=60，则2a₉-a₁₀的值为    ．

5. 难度：中等

若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为    

6. 难度：中等

若函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，则m的取值范围是    ．

7. 难度：中等

设复数，则a+b=    ．

8. 难度：中等

已知变量x、y满足条件则z=x+y的最大值是    ．

9. 难度：中等

函数y=x-2sinx在（0，2π）内的单调增区间为    ．

10. 难度：中等

若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量，，若，则∠C等于    ．

11. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₃=3，a₆=24，则该数列的通项a_n=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的减函数，A（0，-2），B（-3，2）是其图象上的两点，那么不等式|f（x-2）|＞2的解集是    ．

13. 难度：中等

若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，则f₂₀₀₈（8）=    ．

14. 难度：中等

下表中的对数值有且仅有一个是错误的：

x	3	5	8	9	15
lgx	2a-b	a+c	3-3a-3c	4a-2b	3a-b+c+1

请将错误的一个改正为lg    =    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，且
（1）求的值；   
（2）求的值．

三、填空题

16. 难度：中等

如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．
（Ⅰ）求cos∠CBE的值；（Ⅱ）求AE．

四、解答题

17. 难度：中等

已知函数满足；
（1）求常数c的值；（2）解不等式f（x）＜2．

18. 难度：中等

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

19. 难度：中等

把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数的第j个数（如a₄₂=8）．
（1）试用i表示a_ii（不要求证明）；
（2）若a_ij=2008，求i，j的值；
（3）记三角形数表从上往下数第n行的各数之和为b_n，令，若数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（I）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．