2009-2010学年江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

从“⇒”、“⇐”、“⇔”中选择适当的符号填空：
①x²=x+2    ；②x∈A∪B    x∈A∩B．

2. 难度：中等

若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q与r的命题关系是    ．

3. 难度：中等

i是虚数单位．已知，则复数z对应的点落在第    象限．

4. 难度：中等

已知命题P：∃x∈R，ax²+2x-3＞0．如果命题 ^¬P是真命题，那么a的范围是    ．

5. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线方程为3x±4y=0，则双曲线方程为    ．

6. 难度：中等

已知在复平面内，定点M与复数m=1+2i对应，动点Z与复数z=x+yi（x，y∈R）对应，那么不等式|3z-2m|≤2的点Z的集合表示的图形面积为    ．

7. 难度：中等

已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线y²=2px （p＞0）的准线相切，则p=    ．

8. 难度：中等

设中心在原点的椭圆离心率为e，左、右两焦点分别为F₁、F₂，抛物线y²=4x以F₂为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若
PF₂与x轴成45°，则e的值为    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=+cosx，则f（x）取得极值时的x值为    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x²+2，若x∈[-2，3]，则函数的值域为    ．

11. 难度：中等

已知函数y=f′（x）的图象如图，则函数y=f（x）的草图为    ．

12. 难度：中等

已知三次方程x³+ax²+2x+b=0有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足a₁²+a₂²=1，那么a₁+a₂．证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a₁+a₂）²-8≤0，所以a₁+a₂．根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²+a₂²+…+a_n²=1时，你能得到的结论为    ．

14. 难度：中等

如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{a_n}（n∈N^*）的前12项，如下表所示：

a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7	a8	a9	a10	a11	a12
x1	y1	x2	y2	x3	y3	x4	y4	x5	y5	x6	y6

按如此规律下去，则a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知复数z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R）．
（1）在复平面中，若OZ₁⊥OZ₂（O为坐标原点，复数z₁，z₂分别对应点Z₁，Z₂），求a，b，c，d满足的关系式；
（2）若|z₁|=|z₂|=1，|z₁-z₂|=，求|z₁+z₂|．

16. 难度：中等

设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知直线l：y=3x+2过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点．
（1）求抛物线方程；
（2）设抛物线的一条切线l₁，若l₁∥l，求切点坐标．

18. 难度：中等

已知k∈R，且k≠0，是否存在虚数z同时满足：①|z-1|=1；②k•z²+z+1=0．若存在，请求出复数z；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

20. 难度：中等

已知双曲线左右两焦点为F₁，F₂，P为右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH₂⊥PF₁于H，OH=λOF₁，．
（1）求双曲线的离心率e的取值范围；
（2）当e取得最大值时，过F₁，F₂，P的圆截y轴的线段长为4，求该圆方程．