2009-2010学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤

2. 难度：中等

条件p：x²-1＞0，条件q：x＜-2，则﹁p是﹁q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0

4. 难度：中等

设双曲线焦点在y轴上，两条渐近线为，则该双曲线离心率e=（ ）
A．5
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC与BD的交点，若，，，则向量等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

7. 难度：中等

已知函数，则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

8. 难度：中等

平面α的一条斜线l与平面α交于点P，Q是l上一定点，过点Q的动直线m与l垂直，那么m与平面α交点的轨迹是（ ）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．抛物线

9. 难度：中等

如图所示为二次函数f（x）的图象，若函数g（x）=f'（x）f（x），（f'（x）是f（x）的导函数），则g（x）的图象是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c₁和2c₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a₁+c₁=a₂+c₂；②a₁-c₁=a₂-c₂；③c₁a₂＞a₁c₂；④．
其中正确式子的序号是（ ）

A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

二、填空题

11. 难度：中等

若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=    ．

12. 难度：中等

观察式子：1+，1+，1+，…，则可归纳出式子为    ．

13. 难度：中等

点P是曲线x²-y-1nx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离    ．

14. 难度：中等

已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为    ．

15. 难度：中等

已知曲线f（x）=x³+x²+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2ax²相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交截得的线段长度为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

求证：2ln（1+x）≤x²+2x．

17. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°．

18. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；
（Ⅱ）求△ANB面积的最小值；
（Ⅲ）当点M的坐标为（m，0）（m＞0，且m≠1）．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线NA，NB的斜率是否互为相反数？
②△ANB面积的最小值是多少？

19. 难度：中等

已知f（x）=x³-6ax²+9a²x（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若对∀x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．