2007-2008学年江苏省南京师范大学附属扬子中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某单位有老年人27 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（ ）
A．6，12，18
B．7，11，19
C．6，13，17
D．7，12，17

2. 难度：中等

从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，至少有1个红球
B．至少有1个白球，都是红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有1个白球，都是白球

3. 难度：中等

抛物线y=-2x²的焦点坐标是（ ）
A．
B．（-1，0）
C．
D．

4. 难度：中等

条件p：|x|＞1，条件q：x＜-2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是（ ）

游戏1 （有3个黑球和1个白球，游戏时取1个球，再取1个球）	游戏2 （有1个黑球和1个白球，游戏时单取1个球）	游戏3 （有2个黑球和2个白球，游戏时取1个球，再取1个球）
取出的两个球同色→甲胜	取出的球是黑球→甲胜	取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜	取出的球是白球→乙胜	取出的两个球不同色→乙胜

A．游戏1和游戏3
B．游戏1
C．游戏2
D．游戏3

6. 难度：中等

如果以原点为圆心的圆经过双曲线的顶点，并且被直线（c为双曲线的半焦距）分为弧长为3：1的两段弧，则该双曲线的离心等于…（ ）
A．2
B．
C．
D．

二、填空题

7. 难度：中等

设椭圆的两焦点分别为（0，-2），（0，2），两准线间的距离为13，则椭圆的方程为    ．

8. 难度：中等

命题“任何有理数的平方仍是有理数”的否定用数学符号语言可以表示为    ．

9. 难度：中等

已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为2x-y=0，则双曲线的离心率为    ．

10. 难度：中等

（文）若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值是    ．

三、解答题

11. 难度：中等

有五条线段长分别为1，3，5，7，9，从中任取三条，能组成三角形的概率是 ______．

四、填空题

12. 难度：中等

抛物线x²=4y上的一点M到焦点的距离为2，则点M的坐标是    ．

13. 难度：中等

若点（p，q）在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，则方程x²+2px-q²+1=0无实数根的概率是    ．

14. 难度：中等

已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax²相切，则a=    ．

15. 难度：中等

为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为：Z=（其中x是某位学生的考试分数，是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这位学生的标准分），转化成的标准分可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数．例如某次学生选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是：T=40Z+60．已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为    ．

16. 难度：中等

已知点P是椭圆上的动点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则OM的取值范围是    ．

五、解答题

17. 难度：中等

已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax²+bx+c=0没有实根”．
（1）写出命题P的否命题；
（2）判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．

18. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．
（1）求抛物线方程；
（2）过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求 A B的中点C到抛物线准线的距离．

19. 难度：中等

某房地产公司对参加本次房交会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，制成表1，表2及频数分布直方图．
表1  被调查的消费者年收入情况

年收入（万元）	1.2	1.8	3.0	5.0	10.0
被调查的消费者数（人）	150	500	250	75	25

表2  被调查的消费者打算购买住房的面积的情况（注：住房面积取整数）

分组（平方米）	40.5～60.5	60.5～80.5	80.5～100.5	100.5～120.5	120.5～140.5	140.5～160.5	合计
百分比	4%	12%	36%		20%	4%	1.00

请根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据表1可得，年收入______万元的人数最多，最多的有______人；
（2）根据表2可得，打算购买100.5～120.5平方米房子的人数是______人；
打算购买面积不超过100平方米的消费者的人数占被调查人数的百分数是______；
（3）在右面图中补全这个频数分布直方图；

（4）计算被调查的消费者年收入的平均数．

20. 难度：中等

某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：
（1）2件都是一级品的概率；
（2）至少有一件二级品的概率．

21. 难度：中等

已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，-）的椭圆的标准方程．
（2）已知椭圆C的方程是+=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．