2009-2010学年上海市浦东新区建平中学高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c₁和2c₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a₁+c₁=a₂+c₂；②a₁-c₁=a₂-c₂；③c₁a₂＞a₁c₂；④．
其中正确式子的序号是（ ）

A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

二、解答题

2. 难度：中等

已知向量，，函数．
（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）若，求的值．

3. 难度：中等

有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜．
（1）分别求出红色骰子投掷所得点数为2和蓝色骰子投掷所得点数为1的概率；
（2）分别求出红色骰子投掷所得点数和蓝色骰子投掷所得点数的数学期望；
（3）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？

4. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．

5. 难度：中等

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），若对于任意nÎN^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”．
（1）若函数f（x）=确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）在（1）条件下，记为正数数列{x_n}的调和平均数，若d_n=，S_n为数列{d_n}的前n项之和，H_n为数列{S_n}的调和平均数，求；
（3）已知正数数列{c_n}的前n项之和．求T_n表达式．

6. 难度：中等

过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）²+y²=1于点B、C，
（理）在BC上取一点P，使P点满足：，
（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+4x-2，若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）（理）对于给定的非零实数a，求最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立；
（Ⅲ）（理）在（Ⅱ）的条件下，当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．
（Ⅱ）（文）求最小的实数b，使得x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立；
（Ⅲ）（文）若存在实数a，使得x∈[b，1]时，-2≤f（x）≤3b都成立，求实数b的取值范围．

三、填空题

8. 难度：中等

（1+i）（1-i）表示为a+bi（a，b∈R），则a+b=    ．

9. 难度：中等

的最小正周期为，其中ω＞0，则ω=    ．

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E是AD的中点，则异面直线C₁E与BC所成的角是    ．

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

若椭圆两焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0）点P在椭圆上，且△PF₁F₂的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是    ．

13. 难度：中等

设正数数列{a_n}前n项和为S_n，且对所有自然数n，有，则通过归纳猜测可得到S_n=    ．

14. 难度：中等

某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，这人把这种特殊要求的号买全，至少要花    元．（用数学作答）

15. 难度：中等

圆x²+y²-4x-2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°则c值是    ．

16. 难度：中等

函数y=3^-|x-1|-m 的图象与x轴有交点时，m的取值范围是    ．

17. 难度：中等

对于定义在R上的函数f（x），若实数x满足f（x）=x，则称x是函数f（x）的一个不动点．若二次函数f（x）=x²+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是    ．

18. 难度：中等

若是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是    ．（注：写出你认为正确的一组数字即可）

19. 难度：中等

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是    ．（把你认为正确的命题的序号填填上）

四、选择题

20. 难度：中等

设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

21. 难度：中等

设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1； ②a+b＞2； ③a²+b²＞2；④ab＞1，其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（ ）
A．①和④
B．②和④
C．②和③
D．只有②

22. 难度：中等

某工厂八年来某种产品总产量y与时间x（年）的函数关系如图，下列四种说法
①前三年中，产量的增长的速度越来越快；
②前三年中，产量的增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（ ）

A．②与③
B．②与④
C．①与③
D．①与④