2007年浙江省杭州市萧山区六八九三校高一期中联考尖子生数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若 a＞b，则下列正确的是（ ）
A．a²＞b²
B．ac＞bc
C．ac²＞bc²
D．a-c＞b-c

2. 难度：中等

（文）已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n（n+1）则a₅的值为（ ）
A．80
B．40
C．20
D．10

3. 难度：中等

如果二次函数y=5x²-nx-10在区间（-∞，1]上是减函数，在〔1，+∞）是增函数，则n的值是（ ）
A．1
B．-1
C．10
D．-10

4. 难度：中等

集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若不等式ax²+bx+2＞0的解集，则a-b值是（ ）
A．-10
B．-14
C．10
D．14

6. 难度：中等

设两个非零向量不共线，且共线，则k的值为（ ）
A．1
B．-1
C．±1
D．0

7. 难度：中等

若数列{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是：（ ）
A．4005
B．4006
C．4007
D．4008

8. 难度：中等

两座灯塔A和B与海岸观察站的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东10°
D．南偏西10°

9. 难度：中等

已知公差不为零的等差数列的第2，3，6项依次是一等比数列的连续三项，则这个等比数列的公比等于（ ）
A．
B．
C．
D．3

10. 难度：中等

在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ）
A．y=x²（x∈R）
B．y=|sinx|（x∈R）
C．y=cos2x（x∈R）
D．y=e^sin2x（x∈R）

11. 难度：中等

数列{a_n}，已知对任意正整数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n² 等于（ ）
A．（2ⁿ-1）²
B．
C．
D．4ⁿ-1

12. 难度：中等

某人朝正东方向走x千米后，向右转150°并走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．3

13. 难度：中等

等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₅a₆+a₄a₇=18，则log₃a₁+log₃a₂+…log₃a₁₀=（ ）
A．12
B．10
C．8
D．2+log₃5

14. 难度：中等

一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂．
A．55986
B．46656
C．216
D．36

15. 难度：中等

在a＞0，b＞0的条件下，四个结论：①，②，③，④；其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

16. 难度：中等

已知且α是第三象限的角，则cos（α-2π）的值是    ．

17. 难度：中等

f（x）=ax²+ax-1在R上满足f（x）＜0，则a的取值范围是    ．

18. 难度：中等

f（x）的图象是如图两条线段，它的定义域是[-1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）-f（-x）＞0的解集是    ．

19. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是    ．

三、解答题

20. 难度：中等

已知关于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值．

21. 难度：中等

某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？

22. 难度：中等

已知a、b、c为三角形ABC中角A、B、C的对边，且a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，
（1）用边a表示边b和c；
（2）求这个三角形的最大内角．