2007-2008学年江苏省无锡一中高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²-x+1＞0，则命题￢p 是    ．

2. 难度：中等

记A×B={（a，b）|a∈A，b∈B}．例如A={1，2}，B={3，4}，则有A×B={（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}．现A×B={（1，1），（2，1），（3，1）}．则A的子集个数为    个．

3. 难度：中等

cos43°sin13°+sin43°cos167°的值为    ．

4. 难度：中等

若平面向量的夹角是180°，且等于     ．

5. 难度：中等

设，则，=    ．

6. 难度：中等

函数的图象如图所示，则y的表达式为    ．

7. 难度：中等

函数y=cos2x-sinx的最小值为    ．

8. 难度：中等

设函数y=cosx的图象位于y轴右侧的所有的对称中心从左依次为A₁，A₂，…，A_n，…，则A₅₀的坐标是     ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+2=a_n+a_n+1，n∈N*，且a_n是正整数，若a₅=60，则a₁的最大值是    ．

10. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）满足：①若x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂）；②f（x₁+x₂-1）=f（x₁）•f（x₂），请写出符合条件的一个函数    ．

二、选择题

11. 难度：中等

已知向量，则的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2

12. 难度：中等

制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本（ ）
A．6%
B．9%
C．18%
D．20%

13. 难度：中等

已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b

14. 难度：中等

已知S_n是公差为d的等差数列{a_n} （n∈N^*）的前n项和，且S₆＞S₇＞S₅，则下列四个命题：①d＜0；②S₁₁＞0；③S₁₂＜0；④S₁₃＞0中为真命题的序号为（ ）
A．②③
B．③④
C．①②
D．①④

15. 难度：中等

在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的最大值；（3）求满足f（a-x）=f（a+x）（x∈R）的所有的常数a．

18. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠ADB=60°，
（1）求BD的长（2）若角C为钝角，求角C的度数．

19. 难度：中等

已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）且0＜α＜π
（1）若，求与的夹角；
（2）若，求cosα的值．

20. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）．
（1）求常数p的值；  
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=S_n+λa_n，（n∈N*）若数列{b_n}从第二项起每一项都比它的前一项大，求λ的取值范围．

21. 难度：中等

某大学为了发展需要，准备兴建新校区．新校区规划分南北两个校区，北区拟建A，B，C三个不同功能的教学小区，南区拟建D，E，F三个不同功能的生活小区．南北校区用一条中心主干道MN相连，各功能小区与中心主干道用支道相连，并且各功能小区到中心干道的端点的距离相等，A，C，D，F在边长为2公里的正方形顶点位置，B，E分别在MN的延长线上．已知中心主干道的造价为每公里30万元，支道造价为每公里20万元．问当中心主干道约为多少公里时，才能使道路总造价最低？道路总造价最低为多少万元？（ 参考数据，结果保留三位有效数字）

22. 难度：中等

定义在R的函数f（x）满足：①对任意的实数x、y∈R有f（x+y）=f（x）•f（y）．②当x＞0时，f（x）＞1，数列
（1）求f（0），并判断f（x）的单调性；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）令b_n是最接近求T₁₀₀₀．