2009-2010学年湖北省孝感高中高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a＞b＞c且a+b+c=0，则（ ）
A．ac＞0
B．ac＜0
C．ab＞0
D．ab＜0

2. 难度：中等

sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（ ）
A．-
B．
C．-
D．

3. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ+r，则r=（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．3

4. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别是正方形A₁B₁C₁D₁和ADD₁A₁的中心，则EF和CD所成的角是（ ）

A．60°
B．45°
C．30°
D．90°

5. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

6. 难度：中等

若函数f（x）=sinax+cosax（a＞0）的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（ ）
A．
B．（0，0）
C．
D．

7. 难度：中等

在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC

8. 难度：中等

△ABC中，如果lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

9. 难度：中等

如图所示，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁B上存在一点P使得AP+D₁P取得最小值，则此最小值为（ ）

A．2
B．
C．2+
D．

10. 难度：中等

两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．无穷多个

二、填空题

11. 难度：中等

已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是    ．

12. 难度：中等

一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为    cm²．

13. 难度：中等

把25个数排成如图所示的数表，若表中每行的5个数自左至右依次都成等差数列，每列的5个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a₃₃=1，则表中所有数字和为    ．

14. 难度：中等

如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积是72dm²（图中阴影部分），上下空白各1dm，则四周空白部分面积的最小值是    ．

15. 难度：中等

已知m、n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：
①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n．
②若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β．
④m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β．
上面命题中，真命题的序号是    （写出所有真命的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

经过点P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2）、B（2，1）的线段总有公共点．
（1）求直线l斜率k的范围；
（2）直线l倾斜角α的范围．

17. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点N在BD上，点M在B₁C上，且CM=DN，求证：MN∥平面AA₁B₁B．

18. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，D为BC中点，M在BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁．
（1）求证：CM⊥C1D；
（2）求四面体B₁-ADC₁的体积．

19. 难度：中等

如图，ABCD是边长为2的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=1，G是EF的中点．
（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．

20. 难度：中等

一自来水厂拟建一座平面图形为矩形、面积为200平方米的净水处理池，该池的深度为1米，池的四周内壁建造单价为每平方米400元，池底建造单价为每平方米60元，在该水池长边的正中间设置一个隔层，将水池分成左右两个小水池，该隔层建造单价为每平方米100元，池壁厚度忽略不计．
（1）净水池的长度设计为多少米时，可使总造价最低？
（2）如长宽都不能超过14.5米，那么此净水池的长为多少时，可使总造价最低？

21. 难度：中等

已知函数上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明；
（3）在点列A_n（2n，a_n）中，是否存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，求出所有数对（i，j），若不存在，说明理由．