2006-2007学年江苏省常州高级中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={a，1 }，Q={2，3^a}，P∪Q={1，2，9}，则P∩Q=（ ）
A．∅
B．{4}
C．{2}
D．{1}

2. 难度：中等

设，则x值所在的范围是（ ）
A．-3＜x＜-2
B．-2＜x＜-1
C．-1＜x＜0
D．0＜x＜1

3. 难度：中等

函数y=x²-1 （x∈{-1，0，1，2}）的值域是（ ）
A．[0，3]
B．[-1，3]
C．{0，1，3}
D．{0，-1，3}

4. 难度：中等

某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中，较符合该学生的走法的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（-a）等于（ ）
A．b
B．-b
C．
D．-

6. 难度：中等

设集合M={x|x=，k∈Z}，N={x|x=，k∈Z}，则下列关系正确的是（ ）
A．M=N
B．MN
C．MN
D．以上都不对

7. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）在x∈[0，+∞）时的表达式是x（1-x），则在x∈（-∞，0]时的表达式是（ ）
A．x（1+x）
B．-x（1+x）
C．x（x-1）
D．-x（1-x）

8. 难度：中等

已知符号函数sgn x=则方程x+1=（2x-1）^sgnx的所有解之和是（ ）
A．0
B．2
C．
D．

9. 难度：中等

对于任意a∈[-1，1]，函数f （x）=x²+（a-4）x+4-2a的值总大于0，则x的取值范围是（ ）
A．{x|1＜x＜3}
B．{x|x＜1或x＞3}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|x＜1或x＞2}

10. 难度：中等

为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．4，6，1，7
B．7，6，1，4
C．6，4，1，7
D．1，6，4，7

二、填空题

11. 难度：中等

函数的定义域是    ．

12. 难度：中等

已知反比例函数的图象经过点（-1，2），则使得函数值y＞-1的x的取值集合是    ．

13. 难度：中等

关于x的方程2^x+log₂a=2有正根，则实数a取值范围是    ．

14. 难度：中等

在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维方式．如从指数函数中可抽象出f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）的性质；从对数函数中可抽象出f=f（x₁）+f（x₂）的性质，那么从函数    ．（写出一个具体函数即可）可抽象出f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）的性质．

15. 难度：中等

近几年来，手机市场竞争异常激烈，某品牌手机某一款手机市场零售价2005年比2004年下降了15%，为了保证该款手机的市场份额，厂家准备要使其市场零售价2006年比2004年至少下降25%，则2006年在2005年的基础上至少再降价    %．（精确到0.1）

16. 难度：中等

已知实数a，b满足等式，下列五个关系式：
①0＜b＜a，②a＜b＜0，③0＜a＜b，④b＜a＜0，⑤a=b
其中不可能成立的关系式有    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知x²+x≤6，求的最大值和最小值，并求相应的x的值．

18. 难度：中等

已知实数x=m满足不等式，试判断方程y²-2y+m²-3=0有无实根，并给出证明．

19. 难度：中等

问题1：已知函数，则……+f（9）+f（10）=______．
我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现、…、、可一般表示为=为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
问题2：已知函数，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

20. 难度：中等

2003年10月15日，我国的“长征”二号F型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为（其中k≠0，lnx是以e为底x的对数）．当燃料重量为m吨时，该火箭的最大速度为4（km/s）．
（1）求“长征”二号系列火箭的最大速度y（km/s）与燃料重量x吨之间的函数关系式y=f（x）；
（2）已知“长征”二号F型火箭的起飞重量是479.8吨，则应装载多少吨燃料（精确到0.1吨，取e=2.718）才能使火箭的最大飞行速度达到8（km/s），顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？

21. 难度：中等

已知函数y=x+（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+和y=x²+（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=+在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．