2009-2010学年广东省深圳市部分学校高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a²+b²=（ ）
A．0
B．2
C．
D．5

2. 难度：中等

用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不能被5整除
D．a，b有1个不能被5整除

3. 难度：中等

已知向量，则与的夹角为（ ）
A．0°
B．45°
C．90°
D．180°

4. 难度：中等

用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中，要求相邻矩形的涂色不得相同，则不同的涂色方法种数是（ ）

A．36
B．72
C．24
D．54

5. 难度：中等

从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在3块不同的土地上，不同种植方法的种类数是（ ）
A．36
B．64
C．24
D．81

6. 难度：中等

用数学归纳法证明（n∈N₊，n＞1）时，第一步应验证不等式（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD中点，则=（ ）
A．0
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

设复数z=a+4i（i为虚数单位，a∈[0，3]），|z|的最小值为m，最大值为n．则A_n^m=    ．

10. 难度：中等

若在（1+ax）⁵的展开式中x³的系数为-80，则a=    ．

11. 难度：中等

从0，1，2，3，…，9这十个数字中任选2个不同的数字分别作复数z=a+bi的实部和虚部，在复数z为虚数的条件下，它为纯虚数的概率大小为    ．

12. 难度：中等

已知a=（2，4，x），b=（2，y，2），若a∥b，则x+y的值为    ．

13. 难度：中等

一次数学期中考试出了8道选择题，每题附有A，B，C，D四个答案，其中只有一个是符合要求的．某学生每做一道选择题都对A，B，C，D四个字母抽签，抽到谁就把这个答案填上去，则恰好做对4题的概率为    （用数学式子表示）．

14. 难度：中等

观察以下几个等式：
（1）C₂¹=C₁C₁¹+C₁¹C₁；
（2）C₄²=C₂C₂²+C₂¹C₂¹+C₂²C₂；
（3）C₆³=C₃C₃³+C₃¹C₃²+C₃²C₃¹+C₃³C₃，
归纳其特点可以获得一个猜想是：
 C_2nⁿ=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
（1）求ξ的分布列和ξ的数学期望；
（2）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．

16. 难度：中等

已知（其中7＜n＜15）的展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）写出它的展开式中的有理项．

17. 难度：中等

4个男同学，3个女同学站成一排，下列情况各有多少种不同排法：

n	2	3	4	5	6	7
n!	2	6	24	120	720	5040

（1）3个女同学必须排在一起；
（2）同学甲和同学乙之间恰好有3人；
（3）女同学从左往右按从高到低排（3个女同学身高互不相等）；
（4）同学甲不站在左端，同学乙不站在右端．
注：解答须列式，答案要用数字表示，下面给出数据供参考．

18. 难度：中等

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值

19. 难度：中等

已知正项数列{a_n}和{b_n}中，a₁=a（0＜a＜1），b₁=1-a．当n≥2时，a_n=a_n-1b_n，b_n=．
（1）证明：对任意n∈N^*，有a_n+b_n=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项为1，设f（n）=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_kC_n^k+…+a_nC_nⁿ（n∈N^*）．
（1）若{a_n}为常数列，求f（4）的值；
（2）若{a_n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；
（3）数列{a_n}能否成等差数列，使得f（n）-1=2ⁿ•（n-1）对一切n∈N^*都成立？若能，求出数列{a_n}的通项公式；若不能，试说明理由．