2010-2011学年上海市长宁区延安中学高三（上）开学数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

抛物线y²=2x的准线方程是    ．

2. 难度：中等

方程log₂（5x+4）=log₂（x²-2）的解是    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=3^x-1+1的反函数是    ．

4. 难度：中等

已知（i为虚数单位），则复数z=    ．

5. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E为A₁C₁与B₁D₁的交点，F为DD₁的中点，则直线EF与直线BC所成角的大小为    （用反三角函数值表示）．

6. 难度：中等

用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位偶数，共有    个．

7. 难度：中等

设函数的图象过点P（0，1），则函数y=sin（2x+θ）的图象与x轴的交点中离原点最近的一个点的坐标是    ．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}，，n∈N^*，S_n表示数列{a_n}的前n项和，则=    ．

9. 难度：中等

已知函数图象上的动点P到直线y=2x的距离为d₁，到y轴的距离为d₂，则d₁d₂=    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}中a₁=3，a₂=7，当n≥1且n∈N^*时，a_n+2等于a_na_n+1的个位数，则该数列的第2010项等于    ．

11. 难度：中等

已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为    ．

二、选择题

12. 难度：中等

函数y=sin²2x是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数

13. 难度：中等

若平面向量=（1，x）和=（2x+3，-x）互相平行，其中x∈R，则|-|=（ ）
A．
B．
C．-2或0
D．2或10

14. 难度：中等

已知直线l与抛物线y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两个不同的点，那么“直线l经过抛物线y²=4x的焦点”是“x₁x₂=1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件

15. 难度：中等

不等式[（1-a）n-a]lga＜0，对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a＞1}
B．{a|0＜a＜}
C．{a|0＜a＜或a＞1}
D．{a|a0＜a＜或＞1}

三、解答题

16. 难度：中等

三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量=（c-a，b-a），=（a+b，c），若．
（1）求角B的大小．
（2）求sinA+sinC的取值范围．

17. 难度：中等

如图，点O是半径为l的球心，点A、B、C在此球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，
（1）求异面直线OE与AC的夹角的大小；
（2）求点E、F在该球面上的球面距离．

18. 难度：中等

已知函数
（1）函数y=ax-a+2的图象与函数f（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的值；
（2）试求圆心在原点且与函数f（x）的图象有且只有三个公共点的圆C的方程．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a₂=6
（1）对于任意的正自然数n，设点在直线E上，求直线E的方程；
（2）设数列{b_n}，其中a_nb_n=2，问从{b_n}中是否能选出无穷项，按原来的顺序排成等比数列{c_n}，使{c_n}的各项和等于？若能，请说明理由并求出数列{c_n}的第一项和公比，若不能，请说明理由．

20. 难度：中等

已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，过点（0，-1）的直线l与曲线E交于A，B两点，且．
（1）求曲线E的方程；
（2）求直线l的方程；
（3）问：曲线E上是否存在点C，使（O为坐标原点），若存在，则求出m的值和△ABC的面积S；若不存在，请说明理由．