2008-2009学年广东省深圳市翠园中学、宝安中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集I=R，M={x|x²＞4}，N={x|≥1}，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|-2＜x＜1}
C．{x|-2≤x≤2}
D．{x|1＜x≤2}

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

若把函数的图象向右平移m（m＞0）个单位，使点为其对称中心，则m的最小值是（ ）
A．π
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知物体的运动方程是（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（ ）
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒
D．0秒、4秒或8秒

5. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（ ）
A．0
B．1
C．
D．5

6. 难度：中等

设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

7. 难度：中等

已知曲线C：y=2x²，点A（0，-2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，+∞）
B．（-∞，4）
C．（10，+∞）
D．（-∞，10）

8. 难度：中等

定义域和值域均为[-a，a]（常数a＞0）的函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图所示，给出下列四个命题：
（1）方程f[g（x）]=0有且仅有三个解；
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有三个解；
（3）方程f[f（x）]=0有且仅有九个解；
（4）方程g[g（x）]=0有且仅有一个解．
那么，其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

若ξ～B（n，p），Eξ=6，Dξ=3，则P（ξ=1）的值为    ．

10. 难度：中等

从4双不同鞋子中取出4只鞋，其中至少有2只鞋配成一双的取法种数为    ．（将计算的结果用数字作答）

11. 难度：中等

下表中的对数值有且仅有一个是错误的：

x	3	5	8	9	15
lgx	2a-b	a+c	3-3a-3c	4a-2b	3a-b+c+1

请将错误的一个改正为lg    =    ．

12. 难度：中等

图中所示的S的表达式为    ．

13. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是    ．

14. 难度：中等

设a，b∈R⁺，且a+b=1，则+的最大值是    ．

15. 难度：中等

如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设=（cosα，（λ-1）sinα），=（cosβ，sinβ）（λ＞0，0＜α＜β＜π）是平面上的两个向量，且与互相垂直．
（1）求λ的值；
（2）若=，tanβ=，求tanα的值．

17. 难度：中等

某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的产值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与（m-x）x²成正比；②当时，；③，其中a为常数，且a∈[0，2]
（1）设y=f（x），求出f（x）的表达式；
（2）求产值y的最大值，并求出此时x的值．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=，AA₁=1，∠ACB=90°
（Ⅰ）求异面直线A₁B与CB₁所成角的大小；
（Ⅱ）问：在A₁B₁边上是否存在一点Q，使得平面QBC与平面A₁BC所成的角为30°，若存在，请求点Q的位置，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

动圆P与定圆O₁：x²+y²+4x-5=0和O₂：x²+y²-4x+3=0均外切，设P点的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点A（3，0）作直线l交曲线C于P、Q两点，交y轴于M点，若当λ₁+λ₂=m时，求m的取值范围．

20. 难度：中等

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知一系列的抛物线C_n的方程为y=a_nx²（n∈N^*，a_n＞1），过点A_n（n，a_nn²）作该抛物线C_n的切线l_n与y轴交于点 B_n，F_n是 C_n的焦点，△A_nB_nF_n的面积为n³
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：1+≤a_n＜2；
（3）设b_n=2a_n-a_n²，求证：当n≥1时，．