2006-2007学年广东省深圳市宝安中学、翠园中学、外国语学校高三（上）联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知＜＜0，则下列结论不正确的是（ ）
A．a²＜b²
B．ab＜b²
C．+＞2
D．|a|+|b|＞|a+b|

2. 难度：中等

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁=3，前三项和为21，则a₃+a₄+a₅=（ ）
A．33
B．72
C．84
D．189

3. 难度：中等

设函数（其中0＜ω＜2），若函数f（x）图象的一条对称轴为x=，那么ω=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题中正确的是（ ）
（1）若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；
（2）若m∥α，m∥β，则α∥β；
（3）若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
（4）若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．
A．（2）（3）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（3）（4）

5. 难度：中等

若奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x-1，则不等式f（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|x＜-1或0＜x＜1}
B．{x|-1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＜-1或x＞1}

6. 难度：中等

实数x，y满足，则的最大值是（ ）
A．
B．7
C．5
D．8

7. 难度：中等

如果直线l₁：y=ax+2与直线l₂：y=3x+lgb关于直线y=x对称，那么（ ）
A．
B．
C．a=3，b=10^-2
D．a=3，b=10²

8. 难度：中等

已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A．2πR²
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

由抛物线y²=x和直线x=1所围成图形的面积为    ．

10. 难度：中等

如图，P是二面角α-AB-β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小是     ．

11. 难度：中等

甲、乙两人同时从学校去县城开会，已知甲以速度a走了一半时间，另一半时间的速度是b，乙用速度a走了一半路程，另一半路程的速度是b，a≠b，则甲、乙两人先到达县城的是    ．

12. 难度：中等

将抛物线y=x²的图象按平移后，抛物线与直线2x-y+c=0相切，则c=    ．

13. 难度：中等

定义运算a*b=，例如，1*2=1，则函数f（x）=x²*（1-|x|）的最大值为    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}是正项等差数列，若，则数列{b_n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c_n}，若d_n=    则数列{d_n}也为等比数列．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，已知．
（1）求证：||=||；
（2）若||=2，，求||．

16. 难度：中等

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a≥-1，求f（x）的单调区间．

17. 难度：中等

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证：A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求平面A₁B₁C与直线DE所成角的正弦值．

18. 难度：中等

设f（x）=（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又b_n=a_n•a_n+1，n∈N^*
（1）判断数列{}是等差数列还是等比数列并证明；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和．

19. 难度：中等

已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若，求λ的取值范围．

20. 难度：中等

设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x^*∈（0，1），使得f（x）在[0，x^•]上单调递增，在[x^•，1]单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x^•为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（Ⅰ）证明：对任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），则（0，x₂）为含峰区间；若f（x₁）≤f（x₂），则（x₁，1）为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x₁，x₂∈（0，1），满足x₂-x₁≥2r，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
（Ⅲ）选取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）．