2006-2007学年江苏省常州高级中学高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（ ）
A．135°，1
B．45°，-1
C．45°，1
D．135°，-1

2. 难度：中等

直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（ ）
A．ab＞0，bc＜0
B．ab＜0，bc＞0
C．ab＞0，bc＞0
D．ab＜0，bc＜0

3. 难度：中等

将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（ ）

A．平行
B．垂直
C．相交成60°角
D．异面且成60°角

4. 难度：中等

圆（x-2）²+（y-3）²=1关于直线x+y-1=0对称的圆方程是（ ）
A．（x+1）²+（y-2）²=1
B．（x-2）²+（y+1）²=1
C．（x+2）²+（y+1）²=1
D．（x+1）²+（y+2）²=1

5. 难度：中等

已知正方体ABCD-A'B'C'D'，下面有关说法中不正确的是（ ）
A．AD'⊥DB'
B．点C'在平面A'BCD'上的射影恰为正方体的中心
C．BC'与平面A'BCD'所成的角小于45°
D．二面角C'-BD-C的正切值为

6. 难度：中等

两直线3x+2y+m=0和（m²+1）x-3y-3m=0的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．重合
D．视m而定

7. 难度：中等

给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α，β的四个命题：
①m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；
②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β
其中真命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

若直线l：ax+by=1与圆C：x²+y²=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（ ）
A．点在圆上
B．点在圆内
C．点在圆外
D．不能确定

9. 难度：中等

正三棱锥V-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（ ）
A．30°
B．90°
C．60°
D．随P点的变化而变化

10. 难度：中等

过点P（2，1）且被圆C：x²+y²-2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（ ）
A．3x-y-5=0
B．3x+y-7=0
C．x-3y+5=0
D．x+3y-5=0

11. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC₁上任意一点，连接A₁B，BD，A₁D，AD，则三棱锥A-A₁BD的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若方程无实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）
B．[0，1）
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设点M是点N（2，-3，5）关于坐标平面xoy的对称点，则线段MN的长度等于    ．

14. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AA₁=5，AB=12，那么直线B₁C₁和平面A₁BCD₁的距离是     ．

15. 难度：中等

以原点为圆心，并与圆（x-1）²+（y-2）²=5相切的圆的方程是     ．

16. 难度：中等

正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧棱与底面所成角的大小为    ．

17. 难度：中等

如图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是    ．（要求：把可能的图的序号都填上）

18. 难度：中等

已知一条隧道的截面是半径为5m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设一辆货车的最大宽度为a m，那么货车要驶入该隧道，限高为    m．

三、解答题

19. 难度：中等

如图是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，问需要油漆多少千克？（尺寸如图，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01千克）．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系，
证明：E G⊥D F．

21. 难度：中等

直线l过点（2，4）被两平行直线x-y+1=0，x-y+2=0所截得的线段的中点在直线x+2y-3=0上，求此直线l的方程．

22. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，请确定点D的位置，若不存在，请说明理由；
（3）请指出点D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为2，并证明你的结论．

23. 难度：中等

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（1）若l₁与圆相切，求l₁的方程；
（2）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

24. 难度：中等

拓展探究题
（1）已知两个圆：①x²+y²=1；②x²+（y-3）²=1，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为______．
（2）平面几何中有正确命题：“正三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值，大小为边长的倍”，请你写出此命题在立体几何中类似的真命题：______