2009-2010学年湖南省永州市祁阳二中高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程所表示的曲线是（ ）
A．双曲线的一部分
B．椭圆的一部分
C．圆的一部分
D．直线的一部分

2. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ABA₁=30°，AA₁=1，则AA₁与BC₁间的距离为（ ）

A．2
B．
C．
D．1

3. 难度：中等

若抛物线的准线方程为x=-7，则抛物线的标准方程为（ ）
A．x²=-28y
B．x²=28y
C．y²=-28
D．y²=28

4. 难度：中等

某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大哩，原来这句话的等价命题是（ ）
A．不拥有的人们不一定幸福
B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福
D．不拥有的人们就不幸福

5. 难度：中等

双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在下列结论中，正确的结论是（ ）
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；
④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④

7. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作倾斜角为45°的弦AB，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A．2
B．4
C．
D．

8. 难度：中等

三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（ ）

A．-2
B．2
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知点A（1，2，3）和点B（3，2，1），若点M满足，则M的坐标为    ．

10. 难度：中等

异面直线l与m上的单位方向向量分别为，，且，则l与m的夹角的大小为    °．

11. 难度：中等

写出x＜4的一个必要但不充分的条件    ．

12. 难度：中等

与椭圆共焦点的等轴双曲线的方程为    ．

13. 难度：中等

双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离等于    ．

14. 难度：中等

已知，是空间向量，若，，，则=    ．

15. 难度：中等

已知四面体ABCD的六条棱长都是1，则直线AD与平面ABC的夹角的余弦值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知p：x²-12x+20＜0，q：x²-2x+1-a²＞0（a＞0）．若¬q是¬p的充分条件，求a的取值范围．

17. 难度：中等

在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点．
（1）求证：CF∥平面A₁DE；
（2）求点A到平面A₁DE的距离．

18. 难度：中等

一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示．一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米，箱宽3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线．试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，M是抛物线y²=x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|=|MB|．证明：直线EF的斜率为定值．

20. 难度：中等

已知两点M（-1，0）、N（1，0），动点P（x，y）满足=0，
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）假设P₁、P₂是轨迹C上的两个不同点，F（1，0），λ∈R，=λ，求证：+=1．

21. 难度：中等

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；
（Ⅱ）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-EB-C的大小．