2010-2011学年湖南省长沙浏阳一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n+1=0（n∈N⁺），则此数列的通项a_n等于（ ）
A．n²+1
B．n+1
C．1-n
D．3-n

2. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₁=1，公比q=2，则a₁²+a₂²+…+a_n²=（ ）
A．（2ⁿ-1）²
B．（2ⁿ-1）
C．4ⁿ-1
D．（4ⁿ-1）

3. 难度：中等

若b为实数，且a+b=2，则3^a+3^b的最小值为（ ）
A．18
B．6
C．2
D．2

4. 难度：中等

已知（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1或a＞24
B．a=7或a=24
C．-7＜a＜24
D．-24＜a＜7

5. 难度：中等

直线l：x-2y+2=0过椭圆左焦点F₁和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若抛物线y²=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（ ）
A．（7，±）
B．（14，±）
C．（7，±2）
D．（7，±2）

7. 难度：中等

”m＞n＞0”是”方程mx²+ny²=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

抛物线y²=2x上的点P到直线y=2x+4有最短的距离，则P的坐标是（ ）
A．（，）
B．（0，0）
C．（2，2）
D．

二、填空题

9. 难度：中等

在小于100的正整数中能被7整除的所有数之和为    ．

10. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和s_n=2a_n-3（n∈N^*），则a₅=    ．

11. 难度：中等

已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是    ．

12. 难度：中等

设实数x、y满足，则2x+y的最小值为    ．

13. 难度：中等

中心在原点，一个焦点是（-5，0），一条渐近线是直线4x-3y=0的双曲线方程是    ．

14. 难度：中等

已知双曲线x²-=1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为    ．

15. 难度：中等

如图，在面积为1的正△A₁B₁C₁内作正△A₂B₂C₂，使，，，依此类推，在正△A₂B₂C₂内再作正△A₃B₃C₃，…．记正△A_iB_iC_i的面积为a_i（i=1，2，…，n），则a₁+a₂+…+a_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75，T_n为数列的前n项和，求T_n．

17. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，（n∈N^*）．
（I）求证是等差数列；
（II）若，求n的取值范围．

18. 难度：中等

已知
（I）当时，解不等式f（x）≤0；
（II）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．

19. 难度：中等

已知命题：“∀x∈x|-1≤x≤1，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B； 
（2）设不等式（x-3a）（x-a-2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，抛物线顶点在原点，圆x²+y²=4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点．

（1）求抛物线的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．

21. 难度：中等

已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0，），且过点，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值．
（3）求三角形ABC的面积最大值．