2010-2011学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知：集合A={a，0，lg（a+9）}，（a∈R），则下列说法一定错误的是（ ）
A．1∈A
B．9∈A
C．2∈A
D．1∉A

2. 难度：中等

已知x，y的对应取值如下表所示：

x		1	3	4
y	2.7	4.8	5.3	7.2

从散点图分析知，y与x成线性相关，其线性回归方程为=0.95x+a，则a=（ ）
A．3.85
B．3.4
C．3.1
D．2.7

3. 难度：中等

为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

	理科	文科
男	13	10
女	7	20

已知P（K²≥3.841）≈0.05，P（K²≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K²=≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为（ ）
A．2.5%
B．5%
C．10%
D．95%

4. 难度：中等

若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（ ）
A．b＞0
B．b＜0
C．b≤0
D．b≥0

7. 难度：中等

函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2
B．a≥-2
C．-2≤a≤2
D．a≤-2或a≥2

8. 难度：中等

在R上定义运算：x*y=x（1-y），若不等式（x-y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是（ ）
A．
B．
C．-1＜y＜1
D．0＜y＜2

二、填空题

9. 难度：中等

经过点P（2，），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是    ．

10. 难度：中等

如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=2，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为    ．

11. 难度：中等

已知：如图，一个圆的两条弦AB和CE相交于点D，BE=2，BC=2BD=2，∠1=∠2则EC=    ，∠CBE=    ．

12. 难度：中等

若关于a的方程2^2x+2^x•a+1=0有实根，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若指数函数f（x）=a^x（x∈R）的部分对应值如下表：

x	-2		2
f（x）	0.69	1	1.44

若记y=f^-1（x）为y=f（x）的反函数，则不等式f^-1（|x|）＜0的解集为    ．

14. 难度：中等

给出下列命题：
（1）函数y=x+的最小值是2；   
（2）函数y=x+2-3的最小值是-2；
（3）函数的最小值是；
（4）函数y=在（-∞，0）∪（0，+∞）内递减；
（5）幂函数y=x³为奇函数且在（-∞，0）内单调递增；
其中真命题的序号有：    （把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题

15. 难度：中等

已知：函数（a＞0）．解不等式：．

16. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），其导函数满足：f^′（x）≥f^′（b）=-12．
求：（Ⅰ）a、b的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间．

18. 难度：中等

行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/小时）满足下列关系：y=（n为常数，n∈N）．我们做过两次刹车实验，两次的结果分别是：当x₁=40时，刹车距离为y₁；当x₂=70时，刹车距离为y₂．且5＜y₁＜7，13＜y₂＜15．
（1）求出n的值；
（2）若汽车以80（千米/小时）的速度行驶，发现正前方15米处有一障碍物，紧急刹车，汽车与障碍物是否会相撞？
（3）若要求司机在正前方15米处发现有人就刹车（假设发现有人到刹车司机的反应有0.5秒的间隔），车必须在离人1米以外停住，试问这时汽车的最大限制速度应是多少？（保留整数；参考数据：）

19. 难度：中等

已知f（x）=在区间[-1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知：集合M={f（x）|∃x∈D，使f（x+1）=f（x）+f（1）．其中集合D是f（x）的定义域}．
问：（1）函数是否属于集合M？说明理由．
（2）函数f₂=2^x+x²是否属于集合M？说明理由．
（3）若函数，试给出一个满足要求的实数a的值．