2004-2005学年江苏省南京师范大学附属扬子中学高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜3}
B．{x|x＞3或x＜1}
C．{x|x＞3}
D．{x|1＜x＜3}

2. 难度：中等

指数函数y=f（x）的反函数的图象过点（2，-1），则此指数函数为（ ）
A．
B．y=2^x
C．y=3^x
D．y=10^x

3. 难度：中等

中心在原点，准线方程为x=±4，离心为的椭圆方程是（ ）
A．=1
B．=1
C．+y²=1
D．x²+=1

4. 难度：中等

函数y=2sinxcosx-2sin²x+1的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

5. 难度：中等

“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

6. 难度：中等

已知非负实数x、y满足2x+3y-8≤0且3x+2y-7≤0，则x+y的最大值是（ ）
A．
B．
C．3
D．2

7. 难度：中等

拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由给出，其中[m]是大于或等于m的最小正整数，如：[3.74]=4，，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ ）
A．3.71
B．4.24
C．4.77
D．7.95

8. 难度：中等

已知数列-1，a₁，a₂，-4成等差数列，-1，b₁，b₂，b₃，-4成等比数列，则的值是（ ）
A．
B．
C．或
D．

9. 难度：中等

对一切实数x，不等式x⁴+ax²+1≥0恒成立，则实a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）
B．[-2，+∞）
C．[0，2]
D．[0，+∞）

10. 难度：中等

箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

给出下列四个命题：
（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱．
（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F-V=4．
（3）若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β．
（4）命题“异面直线a、b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”的否定．
其中，正确的命题是（ ）
A．（2）（3）
B．（1）（4）
C．（1）（2）（3）
D．（2）（3）（4）

12. 难度：中等

设F（x）=f（x）+f（-x），x∈R，[-π，-]是函数F（x）的单调递增区间，将F（x）的图象按向量=（π，0）平移得到一个新的函数G（x）的图象，则G（x）的一个单调递减区间是（ ）
A．[，2π]
B．[π，]
C．[，π]
D．[-，0]

二、填空题

13. 难度：中等

某校有初中学生1200人，高中学生900人，教师120人，现用分层抽样方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本进行调查，如果从高中学生中抽取60人，那么n=    ．

14. 难度：中等

的展开式中，只有第六项的系数最大，则x⁴的系数是    ．

15. 难度：中等

定义一种运算“※”，对任意正整数n满足：（1）1※1=3，（2）（n+1）※1=3+n※1，则2004※1的值为    ．

16. 难度：中等

一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○…若将此若干个圆依次规律继续下去得到一系列圆，那么在前2004个圆中有    个空心圆．

三、解答题

17. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

18. 难度：中等

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长AA₁=2，
（1）E为棱CC₁的中点，求证：B₁D₁⊥AE；
（2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；
（3）求：点D₁到平面EAB的距离．

19. 难度：中等

设抛物线y=x²过一定点A （-a，a²）（），P（x，y）是抛物线上的动点．
（I）将表示为关于x的函数f（x），并求当x为何值时，f（x）有极小值；
（II）设（I）中使f（x）取极小值的正数x为x，求证：抛物线在点P（x，y）处的切线与直线AP垂直．

20. 难度：中等

某厂在一个空间容积为2000m³的密封车间内生产某种化学药品．开始生产后，每满60分钟会一次性释放出有害气体am³，并迅速扩散到空气中．每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作．安全生产条例规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am³时才能正常进行生产．
（Ⅰ）当r=20时，该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由；
（Ⅱ）能否找到一个大于20的数据r，使该车间能连续正常生产6.5小时？请说明理由．

21. 难度：中等

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|=2|AC|．
（I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（II）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项为a₁=2，前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*n，≥2，a_n总是3S_n-4与的等差中项．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求通项a_n；
（2）证明：；
（3）若，T_n，R_n分别为{b_n}、{c_n}的前n项和．问：是否存在正整数n，使得T_n＞R_n，若存在，请求出所有n的值，否则请说明理由．