2009-2010学年上海市十校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知椭圆方程为3x²+2y²=1，则该椭圆的长轴长为     ．

2. 难度：中等

已知=（-2，-1），=（λ，1），若和的夹角为钝角，则λ的取值范围是    ．

3. 难度：中等

设，则A∩B用列举法可表示为    ．

4. 难度：中等

复数z满足，设|z|_max=m，|z|_min=n，则m•n=    ．

5. 难度：中等

在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…f（2010）=    ．

7. 难度：中等

已知a≠b，a≠b+c，则关于x的方程的解集为    ．

8. 难度：中等

函数（x∈A）的值域是（-∞，0]∪[4，+∞），则集合A=    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，已知b=2，a=2，如果三角形有解，则∠A的取值范围是    ．

10. 难度：中等

甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率为，乙胜的概率也是，则在一次五局三胜制的比赛中，甲队以3：1获胜的概率是    ．

11. 难度：中等

设函数，点A表示原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量与向量的夹角，，设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，则=    ．

12. 难度：中等

已知f（x）=abx-log₃（3^x+1）为偶函数，g（x）=2^x+为奇函数，其中a，b为复数，则（a^k+b^k）=    ．

13. 难度：中等

已知实数x、y满足方程（x-a+1）²+（y-1）²=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大值为    ．

14. 难度：中等

有下列四个命题：
（1）一定存在直线l，使函数的图象与函数g（x）=lg（-x）+2的图象关于直线l对称；
（2）在复数范围内，a+bi=0⇔a=0，b=0
（3）已知数列a_n的前n项和为S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，则数列a_n一定是等比数列；
（4）过抛物线y²=2px（p＞0）上的任意一点M（x_°，y_°）的切线方程一定可以表示为yy=p（x+x）．
则正确命题的序号为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

方程所表示的曲线是（ ）
A．双曲线
B．焦点在x轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的椭圆
D．以上答案都不对

16. 难度：中等

长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ）
A．x
B．
C．
D．x＞1

17. 难度：中等

给定正数a，b，c，p，q，其中p≠q，若p，a，q成等比数列，p，b，c，q成等差数列，则关于x的一元二次方程bx²-2ax+c=0（ ）
A．有两个相等实根
B．有两个相异实根
C．有一个实根和一个虚根
D．有两个共轭虚根

18. 难度：中等

有n个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（ ）
A．n!
B．
C．
D．nⁿ

三、解答题

19. 难度：中等

如图，AB是圆柱体OO′的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B，C重合的任意一点，已知棱AB=5，BC=5，CD=3．
（1）求直线AC与平面ABD所成的角的大小；
（2）将四面体ABCD绕母线AB转动一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．

20. 难度：中等

设全集U=R，关于x的不等式|x+2|+a-2＞0（a∈R）的解集为A．
（1）分别求出当a=1和a=3时的集合A；
（2）设集合，若（C_UA）∩B中有且只有三个元素，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E；设，，其中0＜m≤1，0＜n≤1．
（1）求表达式的值，并说明理由；
（2）求△ADE面积的最大和最小值，并指出相应的m、n的值．

22. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m，0）到直线AP的距离为1
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程．

23. 难度：中等

若数列{a_n}满足：a₁=m₁，a₂=m₂，a_n+2=pa_n+1+qa_n（p，q是常数），则称数列{a_n}为二阶线性递推数列，且定义方程x²=px+q为数列{a_n}的特征方程，方程的根称为特征根； 数列{a_n}的通项公式a_n均可用特征根求得：
①若方程x²=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
②若方程x²=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成a_n=（c₁+nc₂）αⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
再利用a₁=m₁，a₂=m₂，可求得c₁，c₂，进而求得a_n．根据上述结论求下列问题：
（1）当a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a₁=1，a₂=11，a_n+2=2a_n+1+3a_n+4（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（3）当a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）时，记S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ，若S_n能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合．