2010-2011学年江苏省苏州市常熟市高三（上）数学寒假作业（集合、函数、导数及其应用1）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合U={x∈N|0≤x≤8}，S={1，2，4，5}，T={3，5，7}，则S∩（C_UT）=    ．

2. 难度：中等

设函数f（x）=则的值为     ．

3. 难度：中等

函数f（x）=4^x-2^x+2-3的值域是    ．

4. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数f（x）满足∀x₁，x₂∈[0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则的大小关系是    ．

5. 难度：中等

关于x的方程3^x+x²=3的实数解的个数是    ．

6. 难度：中等

已知点P是曲线y=x³-10x+3上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P处的切线斜率为2，则这条切线方程为    ．

7. 难度：中等

函数的单调递增区间是    ．

8. 难度：中等

已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是    ．

9. 难度：中等

已知函数，则f（x）的最大值为    ．

10. 难度：中等

设集合，B={x|log₄（x+a）＜1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

11. 难度：中等

设集合，B={x|（x-m+1）（x-2m-1）＜0}．
（1）求A∩Z；
（2）若A⊇B，求m的取值范围．

12. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过A（t₁，y₁）、B（t₂，y₂）两点，且满足a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0．
（1）证明y₁=-a或y₂=-a；
（2）证明函数f（x）的图象必与x轴有两个交点；
（3）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}，解关于x的不等式cx²-bx+a＞0．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x^-1e^x的定义域是（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）∀x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞-x²+λx-1恒成立，求实数λ的取值范围．

14. 难度：中等

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤．为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲线EF的方程是xy=200（x＞0），设点M的坐标为（s，t）．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）
（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；
（2）若要使△MGK的面积不小于320平方米，求t的取值范围．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³．
（1）设a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．