2010-2011学年重庆市南开中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

点P是P₁P₂的中点，则点P₂分有向线段的比为（ ）
A．-2
B．
C．
D．2

2. 难度：中等

设向量=（1，x-1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

下列各选项中，与sin2011°最接近的数是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a＞b，则
C．若a＞b，则ac²＞bc²
D．若a＞b，则a-c＞b-c

5. 难度：中等

已知非零向量=（ ）
A．
B．2
C．
D．1

6. 难度：中等

下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（ ）
A．sinA+cosA=
B．•＞0
C．tanA+tanB+tanC＞0
D．b=3，c=3，B=30°

7. 难度：中等

如果数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且（n≥2），则a₁₀₀=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x、g（x）=b^x的图象与直线y=3的交点分别为x₁、x₂，且x₁＞x₂，则a与b的大小关系不可能成立的是（ ）
A．b＞a＞1
B．a＞1＞b＞0
C．1＞b＞a＞0
D．b＞1＞a＞0

9. 难度：中等

函数f（x）=sinx，f'（x）是f（x）的导函数，若将f（x）的图象按照向量平移可得到f'（x），则当最小时，…=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

设f （x）=4^x-2^x+1，则f^-1（0）=    ．

12. 难度：中等

设向量与的夹角为θ，，，则sinθ=    ．

13. 难度：中等

已知函数，则=    ．

14. 难度：中等

直线y=2与函数f（x）=3|sinx|+sinx（x∈[0，4π]）的图象有    个交点．

15. 难度：中等

如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且满足，，若CD与BE交于点M，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

平面内给定三个向量
（1）求的值；
（2）若，求实数k的值．

17. 难度：中等

向量，函数．
（1）指出函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，函数f（x）的最大值为，求函数f（x）的最小值并求此时的x的值．

18. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）求证：S₁，S₃，S₉成等比数列；
（2）设数列．是否存在正整数m，使得n＞m时，b_n＞1.99恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且b＜c．求b，c及sinC的值．

20. 难度：中等

已知函数的反函数为f^-1（x）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足，求证：对一切正整数n≥1都有…．

21. 难度：中等

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x，使得对于任意实数x₁，x₂，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且对于任意正整数n，有，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较与T_n的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．