2009-2010学年上海市长宁区延安中学高三（上）摸底数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

线性方程组的增广矩阵是    ．

2. 难度：中等

若是纯虚数，则实数a=    ．

3. 难度：中等

方程log_2x（x²-2x+1）=2的解是    ．

4. 难度：中等

若等差数列{a_n}中有a₆+a₉+a₁₂+a₁₅=20，则其前20项和等于    ．

5. 难度：中等

不等式4^x-2^x+2+3≥0的解集是    ．

6. 难度：中等

已知x∈R，则函数的值域是    ．

7. 难度：中等

所有棱长都为2的正四面体的体积等于    ．

8. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别是F₁、F₂，若点M在椭圆上，且满足 ，则△MF₁F₂面积为    ．

9. 难度：中等

函数f（x）=asinx-bcosx的图象的一条对称轴是直线，则直线ax-by+c=0的倾斜角的大小为    ．

10. 难度：中等

若函数则不等式的解集为     ．

11. 难度：中等

定义：区间[a，b]（ a＜b）的长度为b-a．已知函数y=|log_0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大是    ．

二、选择题

12. 难度：中等

a为实数，则“方程x²+ax-a=0有虚数解”是“方程x²-ax+a=0有实数解”的（ ）
A．充要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既不充分也不必要条件

13. 难度：中等

如右图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为（ ）

A．与点P的位置有关
B．45°
C．60°
D．90°

14. 难度：中等

如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a_n}（n∈N^*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁等于（ ）

A．1003
B．1005
C．1006
D．2011

15. 难度：中等

定义函数，给出下列四个命题：①该函数的值域是[-2，2]；②该函数是以π为最小正周期的周期函数；③当且仅当时该函数取得最大值2；④当且仅当时，f（x）＜0．上述命题中，错误命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

三、解答题

16. 难度：中等

已知z=1+i，a，b∈R，若，求a，b的值．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（2）求点B到平面OAC的距离．

18. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，|BF|=1，过F作直线交此双曲线的右支于P、Q两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求△PBQ的面积S．

20. 难度：中等

对于数列{a_n}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列．
（1）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求证：数列{a_n}是以6为周期的周期数列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}满足，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，试判断{a_n}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{a_n}，又设数列{b_n}，其中，问是否存在最小的自然数n（n∈N^*），使得对一切自然数m≥n，都有b_m＞2009？请说明理由．