2009-2010学年浙江省杭州市学军中学高二（下）期中数学试卷（实验班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为、若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

曲线y=x³-3x²+1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y=3x-4
B．y=-3x+2
C．y=-4x+3
D．y=4x-5

5. 难度：中等

过双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM=ME，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列{a_n}的通项公式为（n∈N₊）
C．半径为r圆的面积S=πr²，则单位圆的面积S=π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，推测空间直角坐标系中球的方程为（x-a）²+（y-b）²+（z-c）²=r²

7. 难度：中等

一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），然后接着按图所示在x轴，y轴平行方向来回运动（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0） …），若每秒运动一个单位长度，那么第2010秒时，这个粒子所在的位置为（ ）

A．（16，44）
B．（15，44）
C．（14，44）
D．（13，44）

9. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lg（x））＞f（1），则x的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（0，）∪（1，+∞）
C．（，10）
D．（0，1）∪（10，+∞）

10. 难度：中等

已知 f（x）为R上的可导函数，且f（x）＜f'（x）和f（x）＞0对于x∈R恒成立，则有（ ）
A．f（2）＜e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
B．f（2）＞e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
C．f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）
D．f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）

二、填空题

11. 难度：中等

经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标方程为     ．

12. 难度：中等

曲线和y=x²在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是    ．

13. 难度：中等

设抛物线x²=12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=x²+aln（1+x）有两个极值点，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：2²=1+33²=1+3+54²=1+3+5+72³=3+53³=7+9+114³=13+15+17+19．根据上述分解规律，则5²=1+3+5+7+9，若m³（m∈N^*）的分解中最小的数是73，则m的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

用数学归纳法证明等式：n∈N，n≥1，．

17. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）求直线B₁E与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

18. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若m=1，且，求k的值（O点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x²+2x-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x₁+x₂）（）≥4，（x₁+x₂+x₃）（）≥9，…，

请你猜测（x₁+x₂+…+x_n）（）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．