2009-2010学年重庆市西南师大附中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线3x+4y+10=0在y轴上的截距为（ ）
A．（0，）
B．-10
C．
D．

2. 难度：中等

若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），则这个椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（ ）
A．a=，b=6
B．a=，b=-6
C．a=3，b=-2
D．a=3，b=6

4. 难度：中等

过原点且倾斜角为60°的直线被圆x²+（y-2）²=4所截得的弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

已知P（4，5），Q（-2，-1），M分为比为1：4，那么当直线y=kx-1恰过M时，k值为（ ）
A．
B．-1
C．
D．-6

6. 难度：中等

中心在原点，准线方程为y=±5，离心率为的椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

把直线绕原点逆时针方向旋转，使它与圆相切，则直线旋转的最小正角是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若方程有两个不等实根，则k的取值范围（ ）
A．（0，）
B．（，]
C．（，+∞）
D．

9. 难度：中等

当x，θ∈R，M=（x+5-3|cosθ|）²+（x-2|sinθ|）²，则M能达到的最小值是（ ）
A．5
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

过圆C：（x-1）²+（y-1）²=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S_|+S_IV=S_||+S_|||则直线AB有（ ）

A．0条
B．1条
C．2条
D．3条

二、填空题

11. 难度：中等

经过圆x²-4x+y²+2y=0的圆心，且与直线x-2y-3=0平行的直线方程为    ．

12. 难度：中等

若实数x，y满足则s=y-x的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知P（x，y）在圆x²+y²+4x-6y+4=0上，则3x-4y的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知椭圆C的焦点F₁（-，0）和F₂（，0），长轴长6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标    ．

15. 难度：中等

已知椭圆E：（a＞b＞0），以椭圆E的左焦点F（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F，过B（0，b）作圆F的切线，切点分别是M、N，若直线MN的斜率，则椭圆的离心率e的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

直线l过点A（0，1），且点B（2，-1）到l的距离是点C（1，2）到l的距离的2倍，求直线l的方程．

17. 难度：中等

已知圆C的圆心在直线x-3y=0上，圆C截直线y=x所得的弦长为，且与y轴相切，试求圆C的方程．

18. 难度：中等

设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为，
（1）求此椭圆方程，并求出准线方程；
（2）若P在左准线l上运动，求tan∠F₁PF₂的最大值．

19. 难度：中等

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

20. 难度：中等

设圆C₁的方程为（x+2）²+（y-3m-2）²=4m²，直线l的方程为y=x+m+2．
（1）若m=1，求圆C₁上的点到直线l距离的最小值；
（2）求C₁关于l对称的圆C₂的方程；
（3）当m变化且m≠0时，求证：C₂的圆心在一条定直线上，并求C₂所表示的一系列圆的公切线方程．

21. 难度：中等

设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．