2003-2004学年江苏省常州高级中学高一（下）数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于任意函数y=f（x），在同一坐标系中，函数y=f（x-1）和函数y=f（1-x）的图象恒关于直线l对称，则l为（ ）
A．x轴
B．直线x=-1
C．直线x=1
D．y轴

2. 难度：中等

设命题P：关于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0与a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集相同；命题Q：，则命题Q是命题P的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若（log₂3）^x-（log₅3）^x≥（log₂3）^-y-（log₅3）^-y，则下列判断正确的是（ ）
A．x-y≥0
B．x+y≥0
C．x-y≤0
D．x+y≤0

4. 难度：中等

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜的最小整数n是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

5. 难度：中等

使p+10，p+14都是质数的质数p共有（ ）
A．0个
B．1个
C．有限多个，但不止1个
D．无穷多个

6. 难度：中等

定义[x]为不大于x的最大的整数，定义{x}为x-[x]．设a=[]，b={}，则a²+（1+）ab的值为（ ）
A．-10
B．-20
C．10
D．20

二、填空题

7. 难度：中等

已知a+lga=10，b+10^b=10，则a+b等于    ．

8. 难度：中等

已知x、y为正数，且，，则的值为    ．

9. 难度：中等

设s、t是两个非零实数，、是单位向量，若s+t与t-s的模相等，则向量与的夹角是    ．

10. 难度：中等

已知△ABC的一边边长为5，另两边边长恰好是二次方程2x²-12x+m=0的两根，则实数m的取值范围是    ．

11. 难度：中等

函数f定义在正整数集上，且满足f（1）=2003，f（1）+f（2）+…+f（n）=n²f（n），（n＞1），则f（2003）的值是    ．

12. 难度：中等

设θ∈R，0＜φ＜2π，若关于x的二次不等式x²cosθ+2sinφ（cosθ+sinθ）x+sinθ＞0的解集为区间（1，10），则φ的值是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

求函数y=的值域．

14. 难度：中等

已知||=，||=3，与的夹角为45°，当+λ与λ+的夹角为锐角时，求λ的取值范围．

15. 难度：中等

设正整数数列a₁、a₂、a₃、a₄是等比数列，公比q大于1且不是整数，当a₄取最小值时，求此四个数．

16. 难度：中等

数列{a_n}，其中a_n为1+2+3+…+n的末位数字，S_n是数列{a_n}的前n项之和，求S₂₀₀₃的值．

17. 难度：中等

有2003个向量构成一序列，₂，₃，…，₂₀₀₃，其中任意3个向量的和的模都与其余的2000个向量的和的模相等，试求这2003个向量的和向量的模．

18. 难度：中等

设a为正实数，二次函数f（x）=ax²-4bx+4c有两个属于区间[2，3]的实数根．
（1）求证：存在以a、b、c为边长的三角形；
（2）求证：．