2009-2010学年浙江省温州市苍南中学高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={-1，0}，B={0，1}，C={1，2}，则（A∩B）∪C等于（ ）
A．∅
B．{1}
C．{0，1，2}
D．{-1，0，1，2}

2. 难度：中等

若p：x²＜5x-6，q：|x+1|≤4，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知函数，则的值是（ ）
A．9
B．-9
C．
D．

4. 难度：中等

设{a_n}是公差为正数的等差数列，若a₁+a₂+a₃=15，a₁a₂a₃=80，则a₁₁+a₁₂+a₁₃=（ ）
A．120
B．105
C．90
D．75

5. 难度：中等

已知向量，且，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°

7. 难度：中等

在△ABC中，，．若△ABC的最长边为1，则最短边的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，设P为△ABC内一点，且，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

对于数列{a_n}，若存在常数M，使得对任意n∈N^*，a_n与a_n+1中至少有一个不小于M，则记作{a_n}＞M，那么下列命题正确的是（ ）
A．若{a_n}＞M，则数列{a_n}各项均大于或等于M
B．若{a_n}＞M，{b_n}＞M，则{a_n+b_n}＞2M
C．若{a_n}＞M，则{a_n²}＞M²
D．若{a_n}＞M，则{2a_n+1}＞2M+1

10. 难度：中等

若方程有正数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，-2）
C．（-3，-2）
D．（-3，0）

二、填空题

11. 难度：中等

若函数的定义域为R，则m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项的和S_n满足log₂（S_n+1）=n，则a_n=    ．

13. 难度：中等

用一根长为12米的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的面积为    米²．

14. 难度：中等

设f（x）是以2为周期的奇函数，且，若，则f（4cos2α）=    ．

15. 难度：中等

已知实数x，y满足，则目标函数的最大值是    ．

16. 难度：中等

数列{a_n}中，如果存在非零常数T，使得a_n+T=a_n对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2），如果x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期为3时，求该数列前2009项和是    ．

17. 难度：中等

有下列四个命题：
①的最小值是；
②已知，则f（4）＜f（3）；
③y=log_a（2+a^x）（a＞0，a≠1）在定义域R上是增函数；
④定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则f（2）=0．
其中，真命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题

18. 难度：中等

已知，B={x|（x-（a+1））•（x-（a-1））＞0}，
（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；
（2）若集合A∩B中恰好只有一个整数，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在定义域上恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（0，0），其导函数f'（x）=2x+1，当x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）时，f（x）为整数的个数记为a_n．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a₁及数列{a_n}的通项公式；
（3）令．

21. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=A₁A₁=a，Ab=2a，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P-DEN的体积．

22. 难度：中等

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为正常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；
（3）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x，我们把|f（x）-g（x）|的值称为两函数在x处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．