2005-2006学年上海市八校高三（上）1月联考数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知的展开式中x³的系数为，常数a的值为    ．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则=    ．

3. 难度：中等

若方程2x²-4x+3=0的一个根为α，则|α|=    ．

4. 难度：中等

若展开式中x⁹的系数为，则常数a=    ．

5. 难度：中等

从抛物线y²=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为    ．

6. 难度：中等

已知A={x|x²-x≤0}，B={x|2^1-x+a≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

若，则f（n）的一个表达式为    （只需写出一个）．

8. 难度：中等

（理）已知极坐标系中，，两点，那么直线PQ与极轴所在直线所夹的锐角是    ．

9. 难度：中等

已知实数x、y满足，则2^x+y-2的最大值是    ．

10. 难度：中等

某四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书．若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学的概率为    ．

11. 难度：中等

定义一种运算“*”，对于n∈N，满足以下运算性质：①2*2=1；②（2n+2）*2=（2n*2）+3．则2004*2的数值为    ．

12. 难度：中等

上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为
根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从    年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍．

13. 难度：中等

已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为α、β，则cos²α+cos²β=1．若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式：    ．

二、选择题

14. 难度：中等

若a、b是异面直线，则以下命题正确的是（ ）
A．至多有一条直线与a、b都垂直
B．至多有一个平面分别与a、b平行
C．一定存在平面α与a、b所成角相等
D．一定存在平面α同时垂直于a、b

15. 难度：中等

我国发射的神舟5号飞船开始运行的轨道是以地球的中心F为一个的椭圆，测得近地点A距地面200公里，远地点B距地面350公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大视角为（ ）

A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠B，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

如图，f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1），则不等式f^-1（x）-f^-1（-x）＞-1的解集为（ ）

A．（-1，0）∪（0，1）
B．
C．
D．

三、解答题

18. 难度：中等

（1）已知且0≤x≤π，求x的值；
（2）记f（x）=（x∈R），求f（x）的最大值及对应的x值．

19. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB
内一点，=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．

20. 难度：中等

本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区am²的老房子进行平改坡．且每年平改坡面积的百分比相等，若改造到面积的一半时，所用时间需10年．已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的．
（1）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？
（2）若通过技术创新，至少保留的老房子开辟新的改造途径．今后最多还需平改坡多少年？

21. 难度：中等

（1）已知平面上两定点A（-2，0）、B（2，0），且动点M的坐标满足=0，求动点M的轨迹方程；
（2）若把（1）的M的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky-3=0 相切，试求实数k的值；
（3）如图1，l是经过椭圆长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两个焦点，点P∈l，P不与A重合．若∠EPF=α，证明：．类比此结论到双曲线，l是经过焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是两个顶点，点P∈l，P不与F重合（如图2）．若∠APB=α，试求角α的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），．
（1）试求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）函数h（x）=f^-1（x）+g（x），求h（x）的定义域，并判断函数h（x）的增减性；
（3）（理）若（2）中函数h（x），有h（x）≥2在定义域内恒成立，求a的范围．
（文）若（2）中函数h（x）的最小值为3，试求a的值．

23. 难度：中等

（1）已知数列{a_n}的通项公式：，试求{a_n}最大项的值；
（2）记，且满足（1），若成等比数列，求p的值；
（3）（理）如果，且p是满足（2）的正常数，试证：对于任意
自然数n，或者都满足；或者都满足．
（文）若{b_n}是满足（2）的数列，且成等比数列，试求满足不等式：-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿ•b_n≥2004的自然数n的最小值．