2008-2009学年江苏省常州高级中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

若f（10^x）=x，则f（3）=    ．

3. 难度：中等

若f（x）是一次函数，且f[f（x）]=x+2，则f（x）的解析式为    ．

4. 难度：中等

设全集U是实数集R，M={x|x²＞4}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是    ．

5. 难度：中等

若规定，则不等式的解集是    ．

6. 难度：中等

已知0＜a＜1，，，，则x，y，z的大小关系为    ．

7. 难度：中等

函数的值域为    ．

8. 难度：中等

设奇函数f（x）的定义域为[-4，4]．若当x∈[0，4]时，f（x）的图象如图，则不等式xf（x）＜0的解集是    ．

9. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间内恒有f（x）＜0，则y=f（x）的单调递增区间为    ．

10. 难度：中等

关于x的方程2^x+log₂a=2有正根，则实数a取值范围是    ．

11. 难度：中等

在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a₁，a₂，…，a_n，共n个数据．我们规定所测量的“量佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a₁，a₂，…，a_n推出的a=    ．

12. 难度：中等

对a，b∈R，记max{a，b}=函数f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知函数，满足对任意x₁≠x₂，都有成立，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知下列四个命题：
（1）定义在R上的函数g（x），若满足g（2）=g（-2）且 g（-5）=g（5），则g（x）为偶函数；
（2）定义在R上的函数g（x）满足g（2）＞g（1），则函数g（x）在R上不是减函数；
（3）y=2x+1的图象可由y=2x的图象向上平移一个单位得到，也可由y=2x的图象向左平移一个单位得到；
（4）f（1-x）的图象可由f（x）的图象先向右平移一个单位，再将图象关于y轴对称得到．
其中，正确的命题序号为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m为实数．
（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒数和为，求这个二次函数的解析式．

16. 难度：中等

设函数f（x）=-4x+b，关于x的不等式|f（x）|＜c的解集为（-1，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明．

三、填空题

17. 难度：中等

设集合A=，B=，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是   

四、解答题

18. 难度：中等

某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成．每个月的保险费为3元，当每个月使用的煤气不超过a m³时，只缴纳基本月租费c元；如果超过这个使用量，超出的部分按b元/m³计费．
（1）请写出每个月的煤气费y（元）关于该月使用的煤气量x（m³）的函数解析式；
（2）如果某个居民7～9月份使用煤气与收费情况如下表，请求出a，b，c，并画出函数图象．其中，仅7月份煤气使用量未超过a m³．

月份	煤气使用量/m^3	煤气费/元
7月	4	4
8月	25	14
9月	35	19

19. 难度：中等

问题1：已知函数，则……+f（9）+f（10）=______．
我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现、…、、可一般表示为=为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
问题2：已知函数，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

20. 难度：中等

已知函数（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值；
（3）令函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，试问是否存在实数a，使得对任意的实数x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．