2009-2010学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线ax+2y=0平行直线x+y=1，则a=（ ）
A．a=1
B．a=-1
C．a=2
D．a=-2

2. 难度：中等

若直线a∥α，直线b⊂α，则直线a与b的位置关系是（ ）
A．相交
B．异面
C．平行
D．异面或平行

3. 难度：中等

椭圆x²+3y²=3的一条准线为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知四棱锥的侧棱都相等，那么四棱锥的底面（ ）
A．存在外接圆
B．存在内切圆
C．为正方形
D．为矩形

5. 难度：中等

若长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线长为2，底面矩形的长、宽分别为、1，则长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

正三棱锥侧面均为直角三角形，其侧棱长为，则正三棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若a，b为不重合直线，α，β为不重合平面，给出下列四个命题：
①；②；③；④；
其中真命题的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

设双曲线的离心率，则两条渐近线的夹角θ的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知四面体ABCD中，，BC=DC=1，其余棱长均为2，且四面体ABCD的顶点A、B、C、D都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AB中点，棱长为2，P是底面ABCD上的动点，且满足条件PD₁=3PM，则动点P在底面ABCD上形成的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

二、填空题

11. 难度：中等

已知x²+y²-2ax+4y-6=0的圆心在直线x+2y+1=0上，那么实数a等于    ．

12. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AD₁与CC₁之间的距离是    ．

13. 难度：中等

如图，正三角形ABC按中线AD折叠，使得二面角B-AD-C的大小为60°，则∠BAC的余弦值为    ．

14. 难度：中等

如果双曲线上一点P到它的左焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是    ．

15. 难度：中等

已知，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，球面被正方体的侧面BCC₁B₁，ABB₁A₁截得的两段弧分别为（如图所示），则这两段弧的长度之和等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，BC∥AD，且AB=AD=2BC，E，F分别是PB、PD的中点．
（1）证明：EF∥平面ABCD；
（2）若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角．

17. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别是棱AB，BC的中点，EF与BD相交于G．
（1）求证：平面EFB₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）求点B到平面B₁EF的距离．

18. 难度：中等

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求多面体B₁C₁ABC的体积．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率e满足成等比数列，且椭圆上的点到焦点的最短距离为．过点（2，0）作直线l交椭圆于点A，B．
（1）若AB的中点C在y=4x（x≠0）上，求直线l的方程；
（2）设椭圆中心为，问是否存在直线l，使得的面积满足2S_△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面ABCD是菱形，SA=SD=，，且S-AD-B大小为120°，∠DAB=60°．
（1）求异面直线SA与BD所成角的正切值；
（2）求证：二面角A-SD-C的大小．

21. 难度：中等

已知直线的方向向量为及定点，动点满足，，，其中点N在直线l上．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，若α+β=θ为定值（0＜θ＜π），试问直线AB是否恒过定点，若AB恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB不恒过定点，请说明理由．