2011-2012学年江苏省苏州市高三（上）期初数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

抛物线y²=4x的准线方程是    ．

2. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1}，B={y|y=x²+2x+2}．则A∩B=    ．

3. 难度：中等

设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为    ．

4. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，最后输出的T的值为    ．

5. 难度：中等

某位同学五次考试的成绩分别为130，125，126，126，128，则该组数据的方差s²=    ．

6. 难度：中等

如图，三个相同的正方形相接，则α+β=    ．

7. 难度：中等

若函数f（x）的导函数为f′（x）=2x-4，则函数f（x-1）的单调递减区间是    ．

8. 难度：中等

口袋中有大小、形状都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“两次摸出的球颜色相同”的概率是    ．

9. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则
φ=    ．

10. 难度：中等

过椭圆的焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，若AB=，则双曲线的离心率为    ．

11. 难度：中等

若正四面体的棱长伟a，则其外接球的表面积为    ．

12. 难度：中等

设，是两个非零向量，如果（+3）⊥（7-5），且（-4）⊥（7-2），则与的夹角为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知a、b是不相等的两个正数，在a、b之间插入两组数x₁，x₂，…x_n和y₁，y₂，…y_n（n∈N^﹢，且n≥2），使得a，x₁，x₂，…x_n，b成等差数列，a，y₁，y₂，…y_n，b成等比数列，则下列四个式子中，一定成立的是    ．（填上你认为正确的所有式子的序号）
①；②=；③=；④＞．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．
（1）若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，求A的值；
（2）若c=10，A=45°，C=30°，求b的值．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，BC=CC₁，E、F分别为AB、AA₁的中点．
（1）求证：直线EF∥平面BC₁A₁；
（2）求证：EF⊥B₁C．

17. 难度：中等

某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下．如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米长56元，筛网（图中虚线部分）的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元．网衣及筛网的厚度不计．
（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；
（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）

18. 难度：中等

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b₁=3，令b_n+1=a_bn，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求数列{T_n-6n}中最小项的值．

19. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C₁和圆弧C₂相接而成．两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C₁的圆心是坐标原点O，半径为r₁=13； 圆弧C₂过点A（29，0）．
（1）求圆弧C₂所在圆的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
（3）已知直线l：x-my-14=0与曲线C交于E、F两点，当EF=33时，求坐标原点O到直线l的距离．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），函数g（x）=㏑x．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点），求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]．求h（x）的最大值F（a）的解析式．

21. 难度：中等

（选做题）如图，设直线l切⊙O于点P，AB为⊙O的任一条不与l垂直的直径，AC⊥l，垂足为点C．
求证：AP平分∠CAB．

22. 难度：中等

（选做题）
已知a，b是实数，如果矩阵M=所对应的变换将直线x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，求圆上的点到直线（t为参数）的最小距离．

24. 难度：中等

（选做题）
设a，b是非负实数，求证：a²+b²≥（a+b）．

25. 难度：中等

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=1．
（1）当SA=2时，求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（2）若平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为，求SA的长．

26. 难度：中等

设整数n≥4，在集合{1，2，3…，n}中，任取两个不同元素a，b（a＞b），记A_n为满足a+b能被2整除的取法种数．
（1）当n=6时，求A_n；
（2）求A_n．